Để giải bài toán này, ta đặt:

- Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là \(x\) giờ.
- Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \(x + 2\) giờ (vì vòi thứ nhất nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ).

**Bước 1: Tính lưu lượng của hai vòi**

Lưu lượng vòi thứ nhất chảy vào bể:

\[
\text{Lưu lượng vòi 1} = \frac{1}{x} \text{ bể/giờ}
\]

Lưu lượng vòi thứ hai chảy vào bể:

\[
\text{Lưu lượng vòi 2} = \frac{1}{x + 2} \text{ bể/giờ}
\]

**Bước 2: Tính tổng lưu lượng của hai vòi khi cùng chảy**

Khi hai vòi cùng chảy vào bể, tổng lưu lượng là:

\[
\text{Tổng lưu lượng} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}
\]

**Bước 3: Tính thời gian đầy bể**

Thời gian đầy bể là \(2\) giờ \(55\) phút, tức là:

\[
2 \text{ giờ } 55 \text{ phút} = \frac{2 \times 60 + 55}{60} = \frac{175}{60} \text{ giờ}
\]

**Bước 4: Thiết lập phương trình**

Ta có:

\[
\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} \right) \times \frac{175}{60} = 1
\]

**Bước 5: Giải phương trình**

Phương trình trở thành:

\[
\frac{175}{60} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} \right) = 1
\]

Khi nhân chéo, ta có:

\[
\frac{175}{60} \left( \frac{(x + 2) + x}{x(x + 2)} \right) = 1
\]

\[
\frac{175(2x + 2)}{60x(x + 2)} = 1
\]

\[
175(2x + 2) = 60x(x + 2)
\]

Giải phương trình này để tìm \(x\):

\[
350x + 350 = 60x^2 + 120x
\]

\[
60x^2 - 230x - 350 = 0
\]

**Bước 6: Sử dụng công thức nghiệm**

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó \(a = 60, b = -230, c = -350\).

Tính:

\[
b^2 - 4ac = 52900 + 84000 = 136900
\]

\[
\sqrt{136900} = 370
\]

Vậy:

\[
x = \frac{230 \pm 370}{120}
\]

Lấy nghiệm dương:

\[
x = \frac{600}{120} = 5
\]

**Bước 7: Kết quả**

- Thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là \(5\) giờ.
- Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \(5 + 2 = 7\) giờ.

Kết quả là:
- Vòi thứ nhất chảy một mình mất 5 giờ.
- Vòi thứ hai chảy một mình mất 7 giờ.