Để giải bài toán, ta bắt đầu phân tích phương trình:

\[
|3x - 2y| + |5z - 7x| + (xy + yz + xz - 500)^{2022} = 0.
\]

Do tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

\[
|3x - 2y| \geq 0,
\]
\[
|5z - 7x| \geq 0,
\]
\[
(xy + yz + xz - 500)^{2022} \geq 0.
\]

Với tổng này bằng 0, từng thành phần cũng phải bằng 0:

1. \( |3x - 2y| = 0 \Rightarrow 3x - 2y = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x. \)
2. \( |5z - 7x| = 0 \Rightarrow 5z - 7x = 0 \Rightarrow z = \frac{7}{5}x. \)
3. \( (xy + yz + xz - 500)^{2022} = 0 \Rightarrow xy + yz + xz - 500 = 0 \Rightarrow xy + yz + xz = 500. \)

Giờ ta sẽ thay thế \(y\) và \(z\) vào biểu thức \(xy + yz + xz\):

Thay \(y\) vào:
\[
y = \frac{3}{2}x,
\]
và thay \(z\):
\[
z = \frac{7}{5}x.
\]

Ta có:
\[
xy = x\left(\frac{3}{2}x\right) = \frac{3}{2}x^2,
\]
\[
yz = \left(\frac{3}{2}x\right)\left(\frac{7}{5}x\right) = \frac{21}{10}x^2,
\]
\[
xz = x\left(\frac{7}{5}x\right) = \frac{7}{5}x^2.
\]

Tính tổng:
\[
xy + yz + xz = \frac{3}{2}x^2 + \frac{21}{10}x^2 + \frac{7}{5}x^2.
\]

Để tính tổng, ta quy về mẫu chung là 10:
\[
xy + yz + xz = \frac{15}{10}x^2 + \frac{21}{10}x^2 + \frac{14}{10}x^2 = \frac{50}{10}x^2 = 5x^2.
\]

Vì vậy:
\[
5x^2 = 500 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10 \text{ hoặc } x = -10.
\]

Với \(x = 10\):
\[
y = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15, \quad z = \frac{7}{5} \cdot 10 = 14.
\]

Với \(x = -10\):
\[
y = \frac{3}{2} \cdot (-10) = -15, \quad z = \frac{7}{5} \cdot (-10) = -14.
\]

Bây giờ, ta tính \(A = (3x - y - z)^{2021}\):

Với \(x = 10\), \(y = 15\), \(z = 14\):
\[
3x - y - z = 3 \cdot 10 - 15 - 14 = 30 - 15 - 14 = 1.
\]

Với \(x = -10\), \(y = -15\), \(z = -14\):
\[
3x - y - z = 3 \cdot (-10) - (-15) - (-14) = -30 + 15 + 14 = -1.
\]

Vậy \(A\) thành:
\[
A = (1)^{2021} = 1,
\]
hoặc
\[
A = (-1)^{2021} = -1.
\]

Do đó, giá trị của \(A\) phụ thuộc vào cách lựa chọn \(x\) nhưng vì \(2021\) là số lẻ, khi đó:
\[
\boxed{1} \text{ là kết quả cho } A = 1 \text{ khi chọn } x = 10.
\]
Còn nếu chọn \(x = -10\), kết quả \(A = -1\), nhưng trong bối cảnh bài tập thường chỉ yêu cầu giá trị dương hoặc không quan trọng lựa chọn số âm.