Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(\sqrt{2}-1)x - y = \sqrt{2} \\
x + (\sqrt{2}+1)y = 1
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải từng bước như sau.

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

Từ phương trình đầu tiên:

\[
(\sqrt{2}-1)x - y = \sqrt{2} \implies y = (\sqrt{2}-1)x - \sqrt{2}
\]

### Bước 2: Thay y vào phương trình thứ hai

Thay giá trị của \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
x + (\sqrt{2}+1)((\sqrt{2}-1)x - \sqrt{2}) = 1
\]

### Bước 3: Rút gọn phương trình vừa tạo ra

Thực hiện các phép toán:

\[
x + (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)x - (\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = 1
\]

\[
x + ((\sqrt{2}^2 - 1)x) - (\sqrt{2}+1)\sqrt{2} = 1
\]

\[
x + (1)x - (2+\sqrt{2}) = 1
\]

\[
2x - (2+\sqrt{2}) = 1
\]

### Bước 4: Giải phương trình sau cùng

Tiếp tục rút gọn:

\[
2x = 1 + 2 + \sqrt{2}
\]

\[
2x = 3 + \sqrt{2}
\]

\[
x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}
\]

### Bước 5: Thay x vào phương trình tìm y

Thay \(x\) vào phương trình \(y\):

\[
y = (\sqrt{2}-1)\left(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\right) - \sqrt{2}
\]

Tính giá trị:

\[
y = \frac{(\sqrt{2}-1)(3 + \sqrt{2})}{2} - \sqrt{2}
\]

\[
= \frac{(3\sqrt{2} - 3 + 2 - \sqrt{2})}{2} - \sqrt{2}
\]

\[
= \frac{(2\sqrt{2} - 1)}{2} - \sqrt{2}
\]

\[
= \sqrt{2} - \frac{1}{2} - \sqrt{2} = -\frac{1}{2}
\]

### Kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \\
y = -\frac{1}{2}
\end{cases}
\]