Để tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) có dạng \( p = a^2 + b^2 + c^2 \) với \( a, b, c \) là các số nguyên dương sao cho \( a^4 + b^4 + c^4 \) chia hết cho \( p \), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Xác định điều kiện cho số nguyên tố p

- Một số nguyên tố \( p = a^2 + b^2 + c^2 \) nếu thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 \) có thể phân tích thành tổng của ba số bình phương.

### Bước 2: Sử dụng tiêu chuẩn của nguyên tố trong dạng tổng bình phương

Theo tiêu chuẩn về tổng bình phương, tất cả các số nguyên tố của dạng \( 4k + 1 \) hoặc \( 2 \) đều có thể viết dưới dạng \( a^2 + b^2 \). Do đó, chúng ta có thể tạo ra các số nguyên tố có dạng \( a^2 + b^2 + c^2 \) từ các số nguyên tố \( p \equiv 1 \mod 4 \) hoặc \( p = 2 \).

### Bước 3: Kiểm tra điều kiện chia hết

Tiếp theo, điều kiện \( a^4 + b^4 + c^4 \equiv 0 \mod p \) sẽ cần được kiểm tra cho mỗi \( p \):

1. Nếu \( p \equiv 1 \mod 4 \) hoặc \( p = 2 \), ta kiểm tra xem \( a^4 + b^4 + c^4 \) có chia hết cho \( p \) không.
2. Chúng ta sẽ tìm giá trị cụ thể của \( a, b, c \) và tính giá trị của \( a^4 + b^4 + c^4 \), sau đó kiểm tra điều kiện chia hết cho \( p \).

### Bước 4: Ví dụ và tính toán

Hãy xem một số ví dụ cụ thể cho các giá trị \( a, b, c \):

- Giả sử \( a = 1, b = 1, c = 1 \):
\[
p = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
\]
\[
a^4 + b^4 + c^4 = 1^4 + 1^4 + 1^4 = 3 \equiv 0 \mod 3
\]

- Giả sử \( a = 1, b = 1, c = 2 \):
\[
p = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 \text{ (không nguyên tố)}
\]

- Giả sử \( a = 1, b = 2, c = 2 \):
\[
p = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9 \text{ (không nguyên tố)}
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị khác cho đến khi tìm được các số nguyên tố \( p \) thỏa mãn cả hai điều kiện.

### Kết luận

Câu hỏi đã đặt ra là một bài toán thú vị trong lý thuyết số. Hãy thử nghiệm thêm với các giá trị khác nhau cho \( a, b, c \) để tìm ra tất cả các số nguyên tố mà thoả mãn điều kiện đã cho. Làm việc với các số cụ thể sẽ giúp làm sáng tỏ vấn đề hơn.