Để tính biểu thức \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} \), chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

**Bước 1: Tính \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} \)**

Chúng ta sẽ tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho:

\[
(a + b\sqrt{2})^2 = 11 + 6\sqrt{2}
\]

Khi khai triển, ta có:

\[
a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = 11 + 6\sqrt{2}
\]

Từ đây, ta có hai phương trình:

1. \( a^2 + 2b^2 = 11 \)
2. \( 2ab = 6 \) tức là \( ab = 3 \)

Từ phương trình thứ hai, ta có thể viết \( b \) theo \( a \):

\[
b = \frac{3}{a}
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
a^2 + 2\left(\frac{3}{a}\right)^2 = 11
\]

Khai triển phương trình trên:

\[
a^2 + 2\cdot\frac{9}{a^2} = 11
\]

Nhân với \( a^2 \) để bỏ mẫu:

\[
a^4 - 11a^2 + 18 = 0
\]

Đặt \( x = a^2 \), ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 11x + 18 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm, ta tìm được:

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2}
\]
\[
x = \frac{11 \pm 7}{2}
\]

Từ đây, ta có các nghiệm:

\[
x_1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2
\]

Do đó, \( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \) (chọn nghiệm dương)$ và \( b^2 = 2 \Rightarrow b = \sqrt{2} \).

Vậy:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}
\]

**Bước 2: Tính \( \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} \)**

Tương tự, tìm hai số \( c \) và \( d \) sao cho:

\[
(c + d\sqrt{2})^2 = 6 - 4\sqrt{2}
\]

Khai triển ra, ta có:

\[
c^2 + 2cd\sqrt{2} + 2d^2 = 6 - 4\sqrt{2}
\]

Tạo thành các phương trình:

1. \( c^2 + 2d^2 = 6 \)
2. \( 2cd = -4 \Rightarrow cd = -2 \)

Từ phương trình thứ hai, ta viết \( d \) theo \( c \):

\[
d = \frac{-2}{c}
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:

\[
c^2 + 2\left(\frac{-2}{c}\right)^2 = 6
\]

Khai triển:

\[
c^2 + 2\cdot\frac{4}{c^2} = 6
\]
\[
c^4 - 6c^2 + 8 = 0
\]

Đặt \( y = c^2 \), ta có:

\[
y^2 - 6y + 8 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}
\]
\[
y_1 = 4 \quad \text{và} \quad y_2 = 2
\]

Do đó, \( c^2 = 4 \Rightarrow c = 2 \) và \( d^2 = 2 \Rightarrow d = -\sqrt{2} \).

Vậy:

\[
\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}
\]

**Bước 3: Tính toàn bộ biểu thức**

Bây giờ chúng ta có:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = (3 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2})
\]
\[
= 3 + \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2}
\]

Vậy kết quả là:

\[
\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = 1 + 2\sqrt{2}
\]