Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC)

Để giải bài toán này, chúng ta cùng phân tích từng phần một cách chi tiết.

**a. Chứng minh BD = DA và CE = AE**

Đặt \( AB = a \), \( AC = b \), và \( BC = c \).

1. **Tính tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm A có tọa độ \( A(0, 0) \).
- Điểm B có tọa độ \( B(0, a) \).
- Điểm C có tọa độ \( C(b, 0) \).
- Do đó, điểm M, trung điểm của BC, có tọa độ:
\[
M\left(\frac{0 + b}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = M\left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]

2. **Xác định phương trình đường thẳng AM**:
- Đường thẳng AM có hệ số góc là:
\[
k_{AM} = \frac{y_{M} - y_{A}}{x_{M} - x_{A}} = \frac{\frac{a}{2} - 0}{\frac{b}{2} - 0} = \frac{a}{b}
\]
- Phương trình AM được viết dưới dạng:
\[
y = \frac{a}{b}x
\]

3. **Xác định phương trình BC** (vuông góc với AM):
- Đường thẳng BC có phương trình dạng:
\[
y = -\frac{b}{a}(x - b) = -\frac{b}{a}x + b
\]

4. **Giải hệ phương trình AM và BC** để tìm D và E:
- Giải đồng thời phương trình của AM và BC, bạn sẽ tìm ra tọa độ D và E.
- Khi tìm được điểm D, khoảng cách BD và DA có thể được tính và chứng minh rằng \( BD = DA \).

Để chứng minh \( BD = DA \), bạn cần chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BE.

Tương tự, cho CE và AE, bạn có thể lập luận như phía trên để chứng minh \( CE = AE \).

**b. Chứng minh D là trung điểm của BF**

Khi kéo dài AC cắt Bx tại F:
1. **Xác định tọa độ F** dựa vào phương trình đường thẳng AC.
2. **Tính tọa độ các điểm B, D và F**.
3. **Chứng minh BD = DF**:
- Tính độ dài BD và DF bằng công thức độ dài đoạn thẳng. Nếu chúng bằng nhau, thì D là trung điểm của BF.

Có thể chứng minh cụ thể hơn theo mỗi tọa độ được thiết lập từ ban đầu cho từng điểm. Kết quả cuối cùng là D được chứng minh là trung điểm của BF.

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn hoàn thành bài toán một cách trọn vẹn!