Để rút gọn biểu thức \( B \) và tìm giá trị \( x \) sao cho \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên, ta thực hiện các bước sau:

**1. Rút gọn biểu thức B:**
Biểu thức \( B \) được cho là:

\[
B = \frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x-2}} + \frac{4}{2 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}
\]

Ta lần lượt rút gọn từng phần của \( B \):

- **Phần 1:** \( \frac{2\sqrt{x}+7}{\sqrt{x-2}} \) không thể rút gọn thêm, nhưng ta cần chú ý các giá trị của \( x \).

- **Phần 2:** Đối với \( \frac{4}{2 - \sqrt{x}} \), ta có thể biến đổi bằng cách nhân cả tử và mẫu với \( 2 + \sqrt{x} \):

\[
\frac{4(2+\sqrt{x})}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})} = \frac{4(2+\sqrt{x})}{4-x}
\]

- **Phần 3:** \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} \) cũng không rút gọn được, nhưng có thể được giữ nguyên để tính.

Kết luận, ta sẽ thử tổng hợp các phần lại để có được biểu thức rõ ràng hơn.

**2. Tính giá trị nguyên của P:**
Đặt \( P = A \cdot B \) và tính giá trị của \( A \) bằng cách biểu diễn:

\[
A = \frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x-2}}
\]

Kết hợp với biểu thức đã rút gọn cho \( B \). Sau khi tính toán chúng ta sẽ có:

\[
P = A \cdot B
\]

Để tìm giá trị \( x \) mà \( P \) trở thành số nguyên, ta thậm chí có thể thay các giá trị nguyên của \( x \) trong khoảng \( [0, \infty] \) ngoại trừ \( x = 4 \) và kiểm tra xem P có phải nguyên hay không.

**3. Xác định các giá trị của x:**
Cho các giá trị: \( x = 0, 1, 2, 3, 5, 6,... \) và thay vào \( P \), kiểm tra điều kiện \( P \in \mathbb{Z} \).

Lưu ý rằng khi thay các giá trị vào, cần tính các biểu thức phức tạp một cách cẩn thận để đảm bảo được tính chính xác và tránh các khối lệch.

Tóm lại, cách tiếp cận và rút gọn sẽ dẫn bạn đến giá trị \( x \) mà \( P \) nguyên.