Để chứng minh rằng \( BHKC \) là hình bình hành và \( HMK \) không thẳng hàng, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### Chứng minh \( BHKC \) là hình bình hành:

1. **Xác định các góc:** Theo định nghĩa của điểm \( K \), từ \( B \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AB \) cắt đường thẳng \( AC \) tại điểm \( K \) và từ \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \) cũng cắt đường thẳng \( AB \) tại \( K \). Khi đó, ta có:
- \( \angle BKH = 90^\circ \) (do đường thẳng \( BK \) vuông góc với \( AB \))
- \( \angle CKH = 90^\circ \) (do đường thẳng \( CK \) vuông góc với \( AC \))

2. **Chứng minh hai cạnh đối diện bằng nhau:**
- Từ tính chất hình bình hành, ta cần chứng minh \( BH = CK \) và \( BK = HC \).
- Do \( H \) là giao điểm của các đường cao \( BE \) và \( CF \), nên \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- Từ đó, \( BH \) và \( HC \) sẽ là các khoảng cách từ các đỉnh đến trực tâm.

3. **Chứng minh \( BK = HC \)**:
- Do \( BKH \) và \( CKH \) là hai tam giác vuông, với \( BH \) và \( CK \) là cạnh huyền trong hai tam giác vuông này.
- Với điều kiện \( AB < AC \), ta có thể suy luận rằng:
\[
BH = HC
\]

4. **Kết luận:** Từ những điều trên, ta có hai cặp cạnh đối diện trong tứ giác \( BHKC \) đều bằng nhau, nên tứ giác \( BHKC \) là hình bình hành.

### Chứng minh \( HMK \) không thẳng hàng:

Để chứng minh rằng điểm \( H \), \( M \), \( K \) không thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc và vị trí của các điểm.

1. **Xem xét độ cao:** \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BE \) và \( CF \), do đó nó có vị trí xác định trong tam giác.

2. **M là trung điểm BC:** Cho \( M \) là trung điểm của \( BC \), vì vậy nó nằm trên đường trung bình của tam giác \( ABC \).

3. **Tính chất cạnh đáy:** Từ đường chéo \( BK \) và \( CK \), ta thấy rằng nếu \( H \), \( M \), và \( K \) thẳng hàng, thì đường thẳng \( HK \) phải cắt \( BC \) tại một điểm, nhưng điều này không xảy ra bởi vì \( H \) thuộc đường thẳng cao và \( M \) là trung điểm, thỏa mãn tính chất của các đường thẳng vuông góc.

4. **Kết luận:** Bằng cách lưu ý đến vị trí của \( H \), \( M \), và \( K \) trong không gian, ta thấy rằng ba điểm này không thể nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng \( BHKC \) là hình bình hành và \( HMK \) không thẳng hàng.