Để tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, DE trong tam giác ABC đã cho, ta sẽ sử dụng định lý Pytago và các tính chất của tam giác vuông.

### 1. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, DE:

**Tam giác ABC** có:
- AB = 30 cm
- AC = 40 cm
- BC = 50 cm

Để kiểm tra xem tam giác ABC có vuông hay không, ta sẽ áp dụng định lý Pytago:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
\[ 30^2 + 40^2 = 50^2 \]
\[ 900 + 1600 = 2500 \]
\[ 2500 = 2500 \]

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

### 2. Tính độ dài BD, DC, DE:

Vì DE // AB và D nằm trên cạnh BC, ta có thể áp dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

#### Giả sử BD = x, DC = y, nên:
\[ BC = BD + DC = x + y = 50 \, cm \]

Biết rằng AB và AC chia bề dài cạnh BC thành 2 phần tỉ lệ với tương ứng 3:4:
- \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \)

#### Thay vào phương trình tỷ lệ:
Giả sử DC = k thì BD = \frac{3}{4}k. Ta có:
\[ \frac{3}{4}k + k = 50 \]
\[ \frac{7}{4}k = 50 \]
\[ k = \frac{50 \times 4}{7} = \frac{200}{7} \approx 28.57 \, cm\, (DC) \]

Tính BD:
\[ BD = \frac{3}{4}k = \frac{3}{4} \times \frac{200}{7} = \frac{600}{28} \approx 21.43 \, cm \]

#### Đoạn DE:
Đường thẳng DE là đường song song với AB, vì vậy nó sẽ chia các đoạn BC theo tỉ lệ giống như AB với AC.

Nên DE cũng sẽ bằng \( \frac{BD}{AB} \cdot AC \):
\[ DE = DC \cdot \frac{30}{50} = 28.57 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 28.57}{5} \approx 17.14 \, cm \]

### Kết quả:
- \( BD \approx 21.43 \, cm \)
- \( DC \approx 28.57 \, cm \)
- \( DE \approx 17.14 \, cm \)

### 3. Chứng minh tam giác ABC vuông:
Đã chứng minh ở bước 1.

### 4. Tính diện tích tam giác:
Có diện tích tam giác ABC:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600 \, cm^2 \]

### 5. Tính diện tích tam giác ADB, ADE, DCE:
- **Tam giác ADB**:
\[ S_{ADB} = \frac{1}{2} \times AB \times BD = \frac{1}{2} \times 30 \times 21.43 \approx 321.45 \, cm^2 \]

- **Tam giác ADE**:
\[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \times DE \times AD = \frac{1}{2} \times 17.14 \times 40 = 342.8 \, cm^2 \]

- **Tam giác DCE**:
Có thể tính từ diện tích giác ABC trừ diện tích ADB và ADE.

Tóm lại, bạn cần nhớ tính tỉ lệ và áp dụng định lý Pytago để giải quyết bài toán này.