Tìm các số nguyên tố p, q sao cho p+q và p × q + 5 đều là số nguyên tố

Để tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho cả \( p+q \) và \( p \times q + 5 \) đều là số nguyên tố, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp cụ thể.

1. **Trường hợp \( p = 2 \)**:
- Khi \( p = 2 \), \( q \) phải là một số nguyên tố lẻ (vì 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất).
- Tính \( p + q = 2 + q \), biểu thức này là một số nguyên tố khi \( q \) là số nguyên tố lẻ.
- Tính \( p \times q + 5 = 2 \times q + 5 \).

Bây giờ, ta cần kiểm tra từng số nguyên tố lẻ:
- Nếu \( q = 3 \):
- \( p + q = 2 + 3 = 5 \) (nguyên tố)
- \( p \times q + 5 = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11 \) (nguyên tố)
- Nếu \( q = 5 \):
- \( p + q = 2 + 5 = 7 \) (nguyên tố)
- \( p \times q + 5 = 2 \times 5 + 5 = 10 + 5 = 15 \) (không phải là số nguyên tố)
- Nếu \( q = 7 \):
- \( p + q = 2 + 7 = 9 \) (không phải là số nguyên tố)

Chừng đó đã cho thấy rằng chỉ có \( (p, q) = (2, 3) \) thỏa mãn điều kiện.

2. **Trường hợp \( p, q \) đều là số nguyên tố lẻ**:
- Khi \( p \) và \( q \) đều là số nguyên tố lẻ, thì \( p + q \) sẽ là số chẵn và chỉ có số chẵn 2 là số nguyên tố. Nhưng nếu là chẵn thì \( p + q \) không thể bằng 2 khi cả hai số đều nguyên tố và lớn hơn 1.

Vì vậy, tổng hợp lại, các cặp số nguyên tố \( (p, q) \) sao cho cả \( p + q \) và \( p \times q + 5 \) đều là số nguyên tố chỉ có là \( (2, 3) \) hoặc \( (3, 2) \).

**Kết luận**:
Cặp số nguyên tố thỏa mãn điều kiện là \( (p, q) = (2, 3) \) hoặc \( (p, q) = (3, 2) \).