Để chứng minh rằng ba điểm K, O, I thẳng hàng trong hình bình hành ABCD, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt hệ tọa độ**: Giả sử A, B, C, D lần lượt có tọa độ \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, c) \), \( D(b, c) \).
- Từ đó, điểm O (giao điểm của hai đường chéo) sẽ có tọa độ \( O\left(\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

2. **Xác định điểm K và I**:
- Giả sử K là điểm trên cánh AB với tọa độ \( K(x_K, y_K) \) và I là điểm trên cánh CD với tọa độ \( I(x_I, y_I) \).
- Theo đề bài, ta có \( AK = CI \). Điều này có thể được viết dưới dạng: \( |K| = |I| \), với điều kiện \( y_K = 0 \) và \( y_I = c \).

3. **Áp dụng định lý về đoạn thẳng**:
- Vì K nằm trên cánh AB, ta có tọa độ \( K\left(x_K, 0\right) \).
- Vì I nằm trên cánh CD, ta có tọa độ \( I\left(x_I, c\right) \).
- Có \( AK = CI \) dẫn đến \( |x_K| = |x_I - (a + b)| \).

4. **Tính toán độ dốc**:
- Tính độ dốc của đoạn thẳng KO và OI:
- Độ dốc KO:
\[
m_{KO} = \frac{0 - \frac{c}{2}}{x_K - \frac{a + b}{2}} = \frac{-c/2}{x_K - (a+b)/2}
\]
- Độ dốc OI:
\[
m_{OI} = \frac{c - \frac{c}{2}}{x_I - \frac{a + b}{2}} = \frac{c/2}{x_I - (a+b)/2}
\]

5. **Kết luận**:
- Nếu hai độ dốc \( m_{KO} \) và \( m_{OI} \) bằng nhau, tức là:
\[
\frac{-c/2}{x_K - (a+b)/2} = \frac{c/2}{x_I - (a+b)/2}
\]
- Điều này cho thấy điểm K, O, I nằm trên cùng một đường thẳng, chứng minh rằng ba điểm này là thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng ba điểm K, O, I thẳng hàng.