Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2^n + 9 \) là số chính phương, ta ký hiệu số chính phương đó là \( k^2 \), với \( k \) là số tự nhiên. Ta có phương trình:

\[
2^n + 9 = k^2
\]

hay

\[
k^2 - 2^n = 9
\]

Ta sẽ biểu diễn phương trình này dưới dạng:

\[
k^2 - 9 = 2^n
\]

Thì ta có thể viết lại thành:

\[
(k-3)(k+3) = 2^n
\]

Vì \( 2^n \) là bội số của 2, cả \( k-3 \) và \( k+3 \) đều phải là các lũy thừa của 2. Ta giả sử:

\[
k - 3 = 2^a \quad \text{và} \quad k + 3 = 2^b
\]

với \( a < b \) và \( a + 1 = b \) để \( k + 3 - (k - 3) = 6 \):

\[
2^b - 2^a = 6
\]

Thay \( b = a + 1 \) vào phương trình:

\[
2^{a+1} - 2^a = 6
\]
\[
2^a (2 - 1) = 6 \Rightarrow 2^a = 6 \quad \text{không có nghiệm}
\]

Vì vậy, \( k - 3 \) và \( k + 3 \) phải là các lũy thừa của 2. Giả định \( a = 0 \) và \( b = 1 \):

\[
k - 3 = 1 \quad \text{và} \quad k + 3 = 2
\]

Giải những giá trị này:

1. Nếu \( k - 3 = 1 \): \( k = 4 \) ⇒ \( 2^n = 4^2 - 9 = 7 \) ⇒ không phải lũy thừa của 2.
2. Nếu \( k - 3 = 2 \): \( k = 5 \) ⇒ \( 2^n = 5^2 - 9 = 16 \) ⇒ \( n = 4 \).

Ta thử lại những giá trị cho n:

- Nếu \( n = 4 \):
\[
2^4 + 9 = 16 + 9 = 25 = 5^2 \quad \text{là số chính phương.}
\]

Vậy nghiệm duy nhất là \( n = 4 \).

Đáp án là:

\[
\boxed{4}
\]