Chúng ta sẽ đi vào giải quyết từng phần bài toán liên quan đến hình chữ nhật ABCD.

### a) Chứng minh ∆AHD ~ ∆BAD

Để chứng minh sự tương đồng giữa hai tam giác \( \triangle AHD \) và \( \triangle BAD \), ta có thể sử dụng quy tắc tương đồng góc-góc (AA):

1. **Góc A** (cùng là một đỉnh trong cả hai tam giác).

2. **Góc DAB = Góc AHD**:
- Vì \( AH \) là đường cao từ A xuống cạnh \( BD \), nên góc \( AHD \) là góc vuông tại H.
- Trong tam giác \( BAD \), góc \( BAD \) cũng vuông (vì ABCD là hình chữ nhật).
- Vậy có \( \angle AHD = \angle BAD = 90^\circ \).

3. **Góc HDA = Góc DBA**:
- Hai góc này đều nằm trên đường chéo BD trong hình chữ nhật, nên chúng cũng bằng nhau.

Vì vậy, ta có:
\[ \triangle AHD \sim \triangle BAD \]

### b) Chứng minh \( AD^2 = BH \cdot BD \)

Từ câu a, ta đã có sự tương đồng của hai tam giác \( \triangle AHD \) và \( \triangle BAD \).

1. Từ định nghĩa về tỉ lệ trong tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AD}
\]

2. Sắp xếp lại:
\[
AH = \frac{AD \cdot AH}{AB}
\]

3. Từ đó, bình phương cả hai vế:
\[
AH^2 = \frac{AD^2 \cdot AH^2}{AB^2}
\]

4. Trong tam giác \( \triangle AHD \):
\[
AD^2 = AH^2 + DH^2
\]

Từ đây, để có được biểu thức mà chúng ta cần, ta sử dụng hệ quả Pythagore trong tam giác \( ABD \):
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2
\]

Và từ tam giác \( \triangle AHD \):
\[
AD^2 = BH \cdot BD
\]

### c) Chứng minh \( \frac{QA}{QH} = \frac{KA}{KB} \)

Kẻ DK là phân giác của góc ADB, theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AD}{DB}
\]

Vì \( DK \) là phân giác của góc ADB, ta có:
\[
\frac{QA}{QH} = \frac{KA}{KB}
\]

Do đó, thương số chiều dài các đoạn thẳng bên trong các tam giác tương ứng loại này là bằng nhau.

Vậy ta có:
\[
\frac{QA}{QH} = \frac{KA}{KB}
\]

Hy vọng phần giải thích trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán hình chữ nhật ABCD. Nếu cần thêm câu hỏi khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!