Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ma trận hệ số phải có định thức khác 0.

Xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \quad (1) \\
mx + fy = -3m + 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta đặt hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
1 & m \\
m & f
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
m + 1 \\
-3m + 1
\end{pmatrix}
\]

Để ma trận có nghiệm duy nhất, ta tính định thức:

\[
\text{Det} = 1 \cdot f - m \cdot m = f - m^2
\]

Để có nghiệm duy nhất, yêu cầu:

\[
f - m^2 \neq 0 \implies f \neq m^2
\]

Bây giờ hãy tính nghiệm của hệ phương trình. Giải từ phương trình (1):

\[
x = m + 1 - my \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):

\[
m(m + 1 - my) + fy = -3m + 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
m^2 + m - m^2y + fy = -3m + 1
\]

Tính y:

\[
(m^2 + f - m^2)y = -3m + 1 - m^2
\]

Nếu \( m \) đã chọn vào \( f \neq m^2 \), ta có thể tính y, rồi thay vào (3) để tìm x.

Để hoàn thành bài toán, ta cần giá trị cụ thể cho f, hoặc thêm điều kiện cho m.