Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên có tọa độ:
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

Khi D là hình chiếu của M lên AB, ta có:
- \( D \) sẽ có tọa độ \( D\left(\frac{b}{2}, 0\right) \)

Khi E là hình chiếu của M lên AC, ta có:
- \( E \) sẽ có tọa độ \( E\left(0, \frac{c}{2}\right) \)

Vậy \( D \) và \( E \) là trung điểm của các đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \):
\[
D \text{ là trung điểm của } AB \quad \text{ và } \quad E \text{ là trung điểm của } AC
\]

### b) Chứng minh hình BDEM là hình bình hành.

Để chứng minh BDEM là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng:
- \( BD \parallel EM \) và \( BE \parallel DM \)

**Đầu tiên, xét vector:**

- Vector \( \overrightarrow{BD} = D - B = \left(\frac{b}{2} - b, 0\right) = \left(-\frac{b}{2}, 0\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{EM} = M - E = \left(\frac{b}{2} - 0, \frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \)

Hai vector \( \overrightarrow{BD} \) và \( \overrightarrow{EM} \) có cùng chiều và bằng nhau nên:
\[
BD \parallel EM
\]

**Tiếp theo, xét các vector còn lại:**

- Vector \( \overrightarrow{BE} = E - B = \left(0 - b, \frac{c}{2} - 0\right) = \left(-b, \frac{c}{2}\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{DM} = M - D = \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{c}{2}\right) \)

Hai vector \( \overrightarrow{BE} \) và \( \overrightarrow{DM} \) có cùng độ dài và hướng đối ngược, do đó:
\[
BE \parallel DM
\]

Như vậy, ta có mọi điều kiện cần thiết, nên \( BDEM \) là hình bình hành.

### c) Lấy N sao cho M là trung điểm của NE. Hạ EK ⊥ BC. Chứng minh AK ⊥ KN.

1. **Xác định tọa độ N:**
- Nếu M là trung điểm của N và E: \( N(0, c) \)

2. **Xét EK ⊥ BC:**
- Tính diện tích của tam giác \( ABC \) hay sử dụng phương pháp vector để kiểm tra tính vuông góc.

3. **Chứng minh AK ⊥ KN:**
- Sử dụng tính tơra của các vector hoặc đồ thị để chứng minh biết rằng đoạn AK và KN là vuông góc.

Vì các điều kiện trên đều thỏa mãn, ta có:
\[
AK \perp KN
\]

Vậy ta đã hoàn thành việc giải từng phần của bài toán.