Để giải và biện luận phương trình:

\[
\sqrt{x^2 - 3} = x - m
\]

ta thực hiện các bước sau:

1. **Điều kiện xác định**:

Phương trình có sự tồn tại của căn bậc hai, do đó ta cần:
\[
x^2 - 3 \geq 0 \implies x^2 \geq 3 \implies |x| \geq \sqrt{3} \implies x \leq -\sqrt{3} \text{ hoặc } x \geq \sqrt{3}
\]

2. **Bình phương cả hai vế** (chú ý điều kiện xác định đã xét):
\[
x^2 - 3 = (x - m)^2
\]

Giải phương trình trên:
\[
x^2 - 3 = x^2 - 2mx + m^2
\]
Kết quả:
\[
-3 = -2mx + m^2 \implies 2mx = m^2 + 3 \implies x = \frac{m^2 + 3}{2m} \quad (m \neq 0)
\]

3. **Kiểm tra điều kiện của x**:
Cần kiểm tra xem \( x = \frac{m^2 + 3}{2m} \) có thỏa mãn điều kiện \( |x| \geq \sqrt{3} \).

- Khi \( m > 0 \):
\[
\frac{m^2 + 3}{2m} \geq \sqrt{3}
\]
Giải bất phương trình:
\[
m^2 + 3 \geq 2m\sqrt{3} \implies m^2 - 2m\sqrt{3} + 3 \geq 0
\]

Tính discriminant:
\[
\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12 - 12 = 0
\]
Vậy phương trình có một nghiệm:
\[
m_0 = \sqrt{3}
\]
- Khi \( m < 0 \):
\[
x = \frac{m^2 + 3}{2m} \text{ sẽ nhận giá trị âm}
\]
Xét dấu của phương trình sẽ không thỏa mãn điều kiện.

4. **Kết luận**:
- Khi \( m = \sqrt{3} \):
Phương trình có nghiệm duy nhất \( x = \sqrt{3} \) (thỏa mãn điều kiện).
- Khi \( m > \sqrt{3} \):
Phương trình có hai nghiệm \( x = \frac{m^2 + 3}{2m} \) thỏa mãn.
- Khi \( 0 < m < \sqrt{3} \) và \( m < 0 \):
Không có nghiệm.

Như vậy, biện luận được thực hiện tùy thuộc vào giá trị của tham số \( m \).