Cho phương trình: x² - 2(m-1)-m-3=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức x1^2 + x2^2=10

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Tìm \( m \) để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \)

1. **Giải phương trình**:

Phương trình của chúng ta là:
\[
x^2 - 2(m-1)x - (m-3) = 0
\]
Re-arranging, ta có:
\[
x^2 - 2(m-1)x + (3 - m) = 0
\]

2. **Tính tổng và tích của nghiệm**:

Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình. Theo định lý Viète, ta có:
- Tổng các nghiệm: \( x_1 + x_2 = 2(m-1) \)
- Tích các nghiệm: \( x_1 x_2 = 3 - m \)

3. **Sử dụng hệ thức giữa các nghiệm**:

Ta có công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]
Thay \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \) vào, ta có:
\[
x_1^2 + x_2^2 = [2(m-1)]^2 - 2(3 - m)
\]

Thay vào hệ thức \( x_1^2 + x_2^2 = 10 \):
\[
[2(m-1)]^2 - 2(3 - m) = 10
\]

Giải trình bày:
\[
4(m-1)^2 - 6 + 2m = 10
\]
\[
4(m-1)^2 + 2m - 16 = 0
\]

Chia cho 2:
\[
2(m-1)^2 + m - 8 = 0
\]

Đặt \( y = m - 1 \), ta có:
\[
2y^2 + (y+1) - 8 = 0
\]
\[
2y^2 + y - 7 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 56}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}
\]
Từ đó, chúng ta có các nghiệm \( y_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) và \( y_2 = -2 \).

Do đó, \( m = y + 1 \):
- Với \( y_1 = \frac{3}{2}: m_1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \)
- Với \( y_2 = -2: m_2 = -2 + 1 = -1 \)

### Phần b: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của \( m \)

Dựa vào các nghiệm của phương trình:

Tổng và tích của nghiệm đã được biểu diễn:
\[
x_1 + x_2 = 2(m-1)
\]
\[
x_1 x_2 = 3 - m
\]

Từ biểu thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]

Chúng ta có thể viết:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (2(m-1))^2 - 2(3 - m) = 10
\]

Giải cách khác:
Ta chỉ cần biểu diễn \( m \) bằng các hàm của nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) để không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của m:
- \( m = 3 - x_1 x_2 \)

Như vậy, hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào \( m \) là:
\[
x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1 x_2) = (x_1 + x_2)^2
\]

Từ đó ta có thể nhận thấy một số kết quả hữu ích giữa các nghiệm.

Hy vọng rằng lời giải này có thể giúp bạn trong việc tìm ra kết quả cho bài toán!