Tam giác ABC có đỉnh cao CH, đường phân giác AD đi qua trung tuyến BM giao nhau tại O. Giả sử A kề đường thẳng vuông góc với AC tại A. Đường thẳng đó cắt BC tại P

Để chứng minh rằng \( AB \cdot \sin(PAB) = BC \cdot \sin(HCB) \), ta sẽ sử dụng định lý sin trong tam giác.

1. **Áp dụng định lý sin**:
- Trong tam giác \( ABP \):
\[
\frac{AB}{\sin(PAB)} = \frac{AP}{\sin(ABP)}
\]
- Tương tự, trong tam giác \( BCP \):
\[
\frac{BC}{\sin(HCB)} = \frac{BP}{\sin(BHC)}
\]

2. **Chúng ta có**:
- Từ định lý sin trong tam giác \( ABP \):
\[
AB = k \cdot \sin(PAB) \quad (k \text{ là độ dài cạnh đối diện với góc } PAB)
\]
- Từ định lý sin trong tam giác \( BCP \):
\[
BC = m \cdot \sin(HCB) \quad (m \text{ là độ dài cạnh đối diện với góc } HCB)
\]

3. **So sánh**:
- Biểu thức hướng tới là \( AB \cdot \sin(PAB) \) và \( BC \cdot \sin(HCB) \). Thay các biểu thức bằng định lý sin và so sánh.

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
AB \cdot \sin(PAB) = BC \cdot \sin(HCB)
\]
và đây là điều cần chứng minh.