Để tìm giá trị của \( a \) sao cho tích \( xy \) đạt giá trị nhỏ nhất trong hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 2a - 1 \\
x^2 + y^2 = a^2 + 2a - 3
\end{cases}
\]

Chúng ta thực hiện các bước như sau:

1. **Thay biến**: Gọi \( S = x + y = 2a - 1 \) và \( P = xy \). Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
\]
Thay \( S \) và \( x^2 + y^2 \) vào, ta có:
\[
S^2 = (a^2 + 2a - 3) + 2P
\]
Từ đó, ta có:
\[
P = \frac{S^2 - (a^2 + 2a - 3)}{2}
\]

2. **Thay giá trị của \( S \)**:
\[
P = \frac{(2a - 1)^2 - (a^2 + 2a - 3)}{2}
\]

3. **Giải biểu thức**:
\[
(2a - 1)^2 = 4a^2 - 4a + 1
\]
Thay vào:
\[
P = \frac{4a^2 - 4a + 1 - (a^2 + 2a - 3)}{2}
\]
\[
= \frac{4a^2 - 4a + 1 - a^2 - 2a + 3}{2}
\]
\[
= \frac{3a^2 - 6a + 4}{2}
\]

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)**: Để giá trị của \( P \) đạt cực tiểu, ta có thể sử dụng đạo hàm:
\[
P' = 3a - 6
\]
Đặt \( P' = 0 \):
\[
3a - 6 = 0 \implies a = 2
\]

5. **Kiểm tra giá trị cực tiểu**: Sử dụng đạo hàm bậc hai:
\[
P'' = 3 > 0
\]
Điều này cho thấy \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( a = 2 \).

Vậy, giá trị của \( a \) để tích \( xy \) đạt giá trị nhỏ nhất là **2**.