Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 4a + 5,
\]

chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phân tích.

**Bước 1: Tính đạo hàm của A.**

\[
A' = 4a^3 - 6a^2 + 6a - 4.
\]

**Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các cực trị.**

\[
4a^3 - 6a^2 + 6a - 4 = 0.
\]

Chúng ta có thể chia phương trình cho 2 để đơn giản hóa:

\[
2a^3 - 3a^2 + 3a - 2 = 0.
\]

**Bước 3: Kiểm tra các giá trị của a để tìm ra nghiệm.**

Ta có thể thử một số giá trị hợp lý, ví dụ:

- Nếu \(a = 1\):
\[
2(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) - 2 = 2 - 3 + 3 - 2 = 0.
\]
Vậy \(a = 1\) là một nghiệm.

**Bước 4: Sử dụng phân tích đa thức để tìm nghiệm còn lại.**

Chúng ta sẽ chia \(2a^3 - 3a^2 + 3a - 2\) cho \((a - 1)\) để tìm thêm nghiệm.

Sau khi chia, ta sẽ được đa thức bậc 2:

\[
2a^3 - 3a^2 + 3a - 2 = (a - 1)(2a^2 - a + 2).
\]

**Bước 5: Giải phương trình bậc 2.**

Công thức nghiệm bậc 2:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15.
\]

Vì \(D < 0\), nên phương trình bậc 2 không có nghiệm thực. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(a = 1\).

**Bước 6: Tính giá trị của A tại \(a = 1\).**

\[
A(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) + 5 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3.
\]

**Bước 7: Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến.**

Đạo hàm bậc 2:

\[
A'' = 12a^2 - 12a + 6.
\]

Giải \(A'' = 0\) để kiểm tra sự đồng biến và nghịch biến. Tính chất giá trị tại \(a = 1\) cho biết rằng đây là điểm cực tiểu.

**Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là:**

\[
\boxed{3}.
\]