Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( Q \) và rút gọn biểu thức này, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Tìm điều kiện xác định của \( Q \) và rút gọn biểu thức \( Q \)

Biểu thức \( Q \) được cho là:

\[
Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} - \frac{9}{x^2 - 9}
\]

Trước hết, chúng ta cần biết rằng biểu thức \( Q \) sẽ không xác định nếu mẫu của bất kỳ phân số nào bằng 0.

1. **Tìm mẫu số:**
- \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \)
- \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)
- \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, x \neq -3 \) (điều này đã được kiểm tra)

**Kết luận điều kiện xác định:**
Biểu thức \( Q \) xác định khi \( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \).

2. **Rút gọn biểu thức \( Q \):**

Ta đã có:

\[
Q = \frac{3}{x+3} + \frac{1}{x-3} - \frac{9}{(x-3)(x+3)}
\]

Tìm mẫu chung cho \( Q \):

Mẫu chung sẽ là \( (x-3)(x+3) \). Ta có:

\[
Q = \frac{3(x-3) + 1(x+3) - 9}{(x-3)(x+3)}
\]

Rút gọn tử số:

\[
= \frac{3x - 9 + x + 3 - 9}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x - 15}{(x-3)(x+3)}
\]

Vậy biểu thức \( Q \) rút gọn được là:

\[
Q = \frac{4x - 15}{(x-3)(x+3)}
\]

### b) Tính giá trị của \( Q \) tại \( x = 1 \)

Thay \( x = 1 \) vào biểu thức rút gọn:

\[
Q(1) = \frac{4(1) - 15}{(1-3)(1+3)} = \frac{4 - 15}{(-2)(4)} = \frac{-11}{-8} = \frac{11}{8}
\]

### c) Xét biểu thức \( R = Q \cdot x \)

Biểu thức \( R \) được cho là:

\[
R = Q \cdot x = \frac{4x - 15}{(x-3)(x+3)} \cdot x = \frac{4x^2 - 15x}{(x-3)(x+3)}
\]

Xét điều kiện để \( R \) nhận giá trị nguyên:

- Điều kiện xác định của \( R \) vẫn là \( x \neq 3, x \neq -3 \).

Để tìm các giá trị nguyên, ta cần \( 4x^2 - 15x \) chia hết cho \( (x-3)(x+3) \).
Do đó, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình:

\[
4x^2 - 15x - k(x^2 - 9) = 0 \quad (k \text{ là số nguyên})
\]

Phương trình này có thể phức tạp. Nhưng bằng cách thử các giá trị nguyên khác nhau cho \( x \), ta sẽ xác định được các giá trị nguyên cho \( R \).

### Kết Luận:

- **Điều kiện xác định của \( Q \)**: \( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \)
- **Biểu thức rút gọn của \( Q \)**: \( Q = \frac{4x - 15}{(x-3)(x+3)} \)
- **Giá trị của \( Q \) tại \( x = 1 \)**: \( Q(1) = \frac{11}{8} \)
- **Biểu thức \( R \)** và điều kiện nguyên phụ thuộc vào thử nghiệm các giá trị cụ thể.