Để hàm số \( y = (2m - 1)x^2 \) có giá trị nhỏ nhất là 0, chúng ta cần xác định điều kiện cho \( 2m - 1 \).

1. **Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số:**
Hàm bậc hai có dạng \( ax^2 \) (với \( a=2m-1 \)) có giá trị nhỏ nhất tại \( x=0 \). Giá trị nhỏ nhất của nó là \( y(0) = (2m - 1) \cdot 0^2 = 0 \).

2. **Điều kiện cho giá trị nhỏ nhất là 0:**
Để \( y = 0 \) tại \( x=0 \) và không có giá trị âm khác, cần có:
- \( 2m - 1 = 0 \).

3. **Giải phương trình:**
\[
2m - 1 = 0 \implies 2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}.
\]

Do đó, giá trị của \( m \) mà hàm số \( y = (2m - 1)x^2 \) có giá trị nhỏ nhất là 0 là \( m = \frac{1}{2} \).