Để giải bài toán này, chúng ta cần xem xét từng phần một.

### a) Tứ giác ADME là hình gì?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Để chứng minh, ta lần lượt xem xét các góc và các cạnh của tứ giác này:

- Vì MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, nên ta có:
- ∠AMD = 90°
- ∠AME = 90°

- Từ A là góc vuông và hai đoạn MD và ME vuông góc với hai cạnh của tam giác vuông tại A, ta có AD // ME và AE // MD. Các cặp cạnh này song song với nhau và có hai cặp góc vuông, tức là:

- AD // ME và MD // AE.

Vì vậy, ADME là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh 3 điểm A, I, M thẳng hàng

Xét hình học của tam giác ABC vuông. Đặt:
- \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\) và \(AC\), nên \(D\) nằm trên \(AB\) và \(E\) trên \(AC\).

Khi đó, các tứ giác \(AMD\) và \(AME\) đều có góc vuông, và với \(I\) là trung điểm của đoạn \(DE\), chúng ta có:

- Mặt khác, đoạn nối \(I\) với \(A\) chia mỗi giác \(AD\) và \(AE\) thành hai đoạn bằng nhau. Điều này dẫn đến các tam giác \(AID\) và \(AIE\) có độ dài cạnh và góc bằng nhau, từ đó suy ra rằng \(A\), \(I\), \(M\) thẳng hàng.

### c) Chứng minh A, P, Q thẳng hàng và A là trung điểm của PQ

1. **Xác định vị trí của điểm P và Q:**
- \(P\) trên tia đối của \(DM\) nên có vị trí là \(P\) sao cho \(DP = DM\).
- \(Q\) trên tia đối của \(EM\) sao cho \(EQ = EM\).

2. **Chứng minh 3 điểm A, P, Q thẳng hàng:**
- Từ \(AD\) vuông góc với \(MD\) và \(AE\) vuông góc với \(ME\), chúng ta đã có \(D\) và \(E\) tạo ra các tam giác vuông đối xứng với \(AD\) và \(AE\).
- Tìm các điểm \(P\) và \(Q\) đối diện với các tia góc vuông, chúng tạo thành một đường thẳng đồng quy với \(A\) (có thể sử dụng tính chất đối xứng để khẳng định điều này).

3. **Kiểm tra trung điểm:**
- Cự ly từ \(A\) đến \(P\) bằng cự ly từ \(A\) đến \(D\) cộng với cự ly từ \(D\) đến \(P\), trong khi cự ly từ \(A\) đến \(Q\) cũng tương tự với điểm \(E\).
- Do \(DP = DM\) và \(EQ = EM\), nên độ dài tối ưu từ \(A\) đến \(P\) bằng độ dài từ \(A\) đến \(Q\).
- Do đó, \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\).

Vậy A, P, Q thẳng hàng và A là trung điểm của PQ.