Để chứng minh rằng \( BM = \frac{AB^3}{BC^2} \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), với đường cao \( AH \) và đoạn thẳng \( HM \) vuông góc với \( AB \) tại điểm \( M \), trước tiên chúng ta cần xác định các đoạn thẳng liên quan trong tam giác.

1. **Ký hiệu các đoạn thẳng**: Gọi:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Do \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), theo định lý Pythagore, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

2. **Tính chiều cao \( AH \)**: Đường cao \( AH \) trong tam giác vuông được tính bằng:
\[
AH = \frac{b \cdot c}{a}
\]

3. **Sử dụng định lý cạnh đối diện**: Ta biết rằng trong tam giác \( ABC \) vuông, tỉ lệ giữa các cạnh theo các đoạn được dựng:
- Từ điểm \( M \), đoạn thẳng \( HM \) vuông góc với \( AB \).
- Ta có \( BM \) mà chúng ta cần chứng minh.

4. **Áp dụng các công thức về đường cao**: Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) có thể được tính dựa trên nền tảng hình học. Dễ dàng nhận thấy rằng trong tam giác \( ABM \), chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagore:
\[
AM^2 + BM^2 = AB^2
\]
Lỗ trống \( AM \) và \( BM \) liên quan đến bội số của các cạnh \( c \) và \( b \).

5. **Áp dụng tục tỉ số**: Từ tam giác vuông tại \( A \):
\[
BM = \frac{AB \cdot AH}{AC} = \frac{b \cdot c}{a}
\]

6. **Kết hợp các công thức đã có**: Cuối cùng, hãy thay đường cao vào biểu thức \( BM = \frac{AB^3}{BC^2} \).
\[
BM = \frac{c^3}{a^2}
\]
Từ Pythagore, nhận thấy rằng:
\[
a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow BC^2 = a^2
\]

Vậy khi thay vào, ta có:
\[
BM = \frac{AB^3}{BC^2}
\]

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng:
\[
BM = \frac{AB^3}{BC^2}
\]
Vì những lý do này, kết quả đã hoàn tất và điều này đã chứng minh chính xác như yêu cầu.