Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -x^2 + 4x + 2 \), ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Biểu thức \( A \) có thể được viết lại như sau:

\[
A = - (x^2 - 4x) + 2
\]

Tiếp theo, chúng ta hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 - 4x \):

\[
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
\]

Do đó,

\[
A = - \left( (x - 2)^2 - 4 \right) + 2
\]
\[
A = - (x - 2)^2 + 4 + 2
\]
\[
A = - (x - 2)^2 + 6
\]

Từ đây, ta nhận thấy rằng biểu thức \( - (x - 2)^2 \) sẽ đạt giá trị lớn nhất bằng 0 khi \( (x - 2)^2 = 0 \) (tức là \( x = 2 \)). Khi đó, giá trị lớn nhất của \( A \) sẽ là:

\[
A_{\text{max}} = 0 + 6 = 6
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( A \) là \( \boxed{6} \).