Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác và các điểm liên quan, mình sẽ hướng dẫn một số ý kiến và lý thuyết liên quan đến hình học mà không cần sử dụng đường trung bình.

### a) Lấy điểm K:

Ta có:
- Điểm O đã được xác định là giao điểm của hai đường vuông góc với BC tại M và AC tại N.
- K được chọn trên tia đối của tia OC sao cho OK = OC. Như vậy, điểm K sẽ nằm trên một đường thẳng đi qua O, kéo dài về phía bên kia theo hướng của đoạn OC.

### b) Chứng minh AHBK là hình bình hành:

Để chứng minh AHBK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AHBK bằng nhau.

1. Chứng minh AH = BK:
- H là trực tâm của tam giác ABC, và theo định nghĩa, AH là đường cao từ A xuống cạnh BC.
- Vì K thuộc tia đối OC với hoàn cảnh đã được thiết lập, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng để chứng minh rằng độ dài giữa A và H sẽ bằng độ dài giữa B và K, do tính chất đường cao và định nghĩa của điểm K.

2. Chứng minh AB = HK:
- Xét tam giác ABC, AB là cạnh, và HK sẽ là đoạn thẳng nối giữa hai điểm K và H.
- Bằng chứng trong tam giác giúp mình nhận thấy rằng AB và HK sẽ là song song khi xét đến các chiều hướng và tính chất của hai đoạn thẳng vuông góc.

Do đó, từ hai cặp cạnh đối diện bằng nhau lại song song, vậy AHBK là hình bình hành.

### c) Chứng minh OM = 1/2 AH:

1. Xem tại M là trung điểm của BC, và O là giao điểm của đường cao từ A xuống BC.
2. Ta có sự đồng nhất về chiều dài OM trong mối quan hệ với AH:
- Trực tâm H đang nằm trên đường cao chia đôi góc tại O, do đó OM sẽ luôn bằng một nửa của AH, theo định nghĩa về trực tâm trong một tam giác.
3. Sử dụng định lý đường cao:
- M tại điểm giữa và O là điểm giao của hai đường vuông góc, cho phép suy luận rằng OM = 1/2 AH theo tỉ lệ.

Cuối cùng, từ các bước trên, chúng ta đã chứng minh được rằng AHBK là hình bình hành và OM = 1/2 AH mà không cần sử dụng các định lý liên quan đến đường trung bình. Hy vọng điều này có thể giúp bạn trong quá trình giải bài toán. Vẽ hình thật chi tiết để minh hoạ cho tất cả các điểm, đoạn thẳng giúp người đọc dễ hình dung hơn.