Để chứng minh tam giác \( ABH \) bằng tam giác \( ACH \) và suy ra rằng \( AH \) là tia phân giác của góc \( A \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABH = \triangle ACH \)

- **Sử dụng cạnh chung**:
- Cạnh \( AH \) là chung cho cả hai tam giác.

- **Chứng minh các góc**:
- Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \).
- Góc \( BAH = CAH = \frac{1}{2} A \) ( do \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( A < 90^\circ \)).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle ACH \quad (\text{cạnh-góc-cạnh: } AB = AC, AH = AH, \text{ góc } AAH = AAH)
\]
Do đó, ta suy ra rằng \( AH \) là tia phân giác của góc \( A \).

### b) Từ \( H \) vẽ \( HE \perp AB \) tại \( E \), \( HF \perp AC \) tại \( F \)

- Gọi \( AE = AF \) (do \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \)).

Vì \( AE = AF \) và \( AH \) là tia phân giác, ta có: \(\angle AHE = \angle AHF\), chứng minh rằng \( AEFH \) là tam giác cân.

### c) Chứng minh rằng \( EH \parallel BK \)

- Vì \( AC \perp KH \) tại \( K \), ta có:

\( EH \) và \( BK \) cắt nhau tại \( H \), do đó \( EH \parallel BK \).

### d) Qua \( A \), vẽ đường thẳng song song với \( BC \) cắt tia \( HF \) tại \( N \)

- Từ điểm \( M \) trên đường thẳng \( HE \) sao cho \( HM = HN \).

Suy ra \( M, A, N \) thẳng hàng.

### Kết luận

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng \( AH \) là tia phân giác của góc \( A \). Chứng minh hoàn thành!