Để giải bài toán này, ta cần xác định số áo mà mỗi xưởng đã may và diện tích vải mà mỗi xưởng đã sử dụng.

**Bước 1: Xác định số áo mỗi xưởng may.**

Gọi số áo của xưởng I là \(3x\), số áo của xưởng II là \(4x\) (theo tỉ lệ 3:4).

Gọi số áo của xưởng II là \(5y\), số áo của xưởng III là \(6y\) (theo tỉ lệ 5:6).

Do xưởng II có số áo như nhau, ta có phương trình:

\[
4x = 5y \Rightarrow y = \frac{4x}{5}
\]

**Bước 2: Tính số áo của từng xưởng.**

Thay \(y\) vào số áo của xưởng III:

\[
\text{Số áo của xưởng III} = 6y = 6 \left(\frac{4x}{5}\right) = \frac{24x}{5}
\]

**Bước 3: Tính tổng số áo.**

Tổng số áo may được ở cả ba xưởng:

\[
3x + 4x + 5y + 6y = 3x + 4x + 5 \left(\frac{4x}{5}\right) + 6 \left(\frac{4x}{5}\right)
\]

\[
= 3x + 4x + 4x + \frac{24x}{5} = 7x + 4x + \frac{24x}{5} = 11x + \frac{24x}{5}
\]

Tính \(= \frac{55x}{5} + \frac{24x}{5} = \frac{79x}{5}\)

**Bước 4: Đặt giả thiết \(x\) và tổng số m vải sử dụng.**

Giả sử mỗi áo may tốn \(m\) mét vải. Tổng số vải sử dụng là:

\[
(m \cdot 3x + m \cdot 4x + m \cdot 5y + m \cdot 6y = 590)
\]

Thay vào:

\[
m \cdot 3x + m \cdot 4x + m \cdot 4x + m \cdot 6y = 590
\]

\[
m \cdot (3x + 4x + 4x + 6y) = 590
\]

Dễ dàng thấy \(3x + 4x + 5y + 6y = 79\) có thể tìm m bằng cách sử dụng phương trình vải:

**Bước 5: Chia tỷ lệ vải.**

Gọi số m vải sử dụng của mỗi xưởng là \(V_1, V_2, V_3\). Theo tỷ lệ:

- \(V_1\) (xưởng I) tỉ lệ với \(3\)
- \(V_2\) (xưởng II) tỉ lệ với \(4\)
- \(V_3\) (xưởng III) tỉ lệ với \(6\)

Nguyên tắc sẽ là:

\[
3k + 4k + 6k = 590 \Rightarrow 13k = 590 \Rightarrow k = \frac{590}{13} = 45
\]

**Bước 6: Tính số m đã sử dụng**

Từ đó tính được vải sử dụng của từng xưởng:

\[
V_1 = 3k = 3 \cdot 45 = 135 \, \text{m}
\]
\[
V_2 = 4k = 4 \cdot 45 = 180 \, \text{m}
\]
\[
V_3 = 6k = 6 \cdot 45 = 270 \, \text{m}
\]

**Kết quả:**
- Xưởng I đã dùng 135 m vải.
- Xưởng II đã dùng 180 m vải.
- Xưởng III đã dùng 270 m vải.