Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước cho cả hai phần.

### a) Chứng minh AEMF là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa**: Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AM là trung tuyến từ A đến cạnh BC, E là trung điểm của AB, và F là trung điểm của AC.

2. **Tính tọa độ**: Giả sử các điểm có tọa độ như sau (thuận lợi cho tính toán):
- A(0, 0)
- B(b, 0) với b > 0
- C(0, c) với c > 0

Từ đó, ta có:
- E = trung điểm AB = \(\left( \frac{b}{2}, 0 \right)\)
- F = trung điểm AC = \(\left( 0, \frac{c}{2} \right)\)

3. **Tính tọa độ M**: M là trung điểm của BC. Ta có:
- B = (b, 0)
- C = (0, c)
- M = \(\left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)\)

4. **Chứng minh các cạnh AE, AF và MF, ME vuông góc:**
- Vector AE: \(\left( E_x - A_x, E_y - A_y \right) = \left( \frac{b}{2} - 0, 0 - 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)\)
- Vector AF: \(\left( F_x - A_x, F_y - A_y \right) = \left( 0 - 0, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( 0, \frac{c}{2} \right)\)
- Nhận thấy AE vuông góc với AF.

- Vector MF: \(\left( F_x - M_x, F_y - M_y \right) = \left( 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, 0 \right)\)
- Vector ME: \(\left( E_x - M_x, E_y - M_y \right) = \left( \frac{b}{2} - \frac{b}{2}, 0 - \frac{c}{2} \right) = \left( 0, -\frac{c}{2} \right)\)
- Nhận thấy MF vuông góc với ME.

5. **Kết luận**: Bốn cạnh AE, AF, ME, MF đều vuông góc với nhau, và gốc A nằm trong bốn đường chéo, vì vậy AEMF là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh EHMF là hình thang cân

1. **Đường cao AH**: AH là đường cao từ A xuống cạnh BC. Tọa độ H sẽ được xác định là điểm trên BC sao cho AH ⊥ BC. Trong hình vuông, AH sẽ cắt BC tại một điểm H.

2. **Chứng minh EH = FM**:
- Từ biểu thức tọa độ đã tính ở trên:
- E = \(\left( \frac{b}{2}, 0 \right)\)
- F = \(\left( 0, \frac{c}{2} \right)\)
- M = \(\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)\)

- Cạnh EH = EF, với:
- EH = \( \sqrt{\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(0 - 0\right)^2} = 0 \)
- FM = giá trị Euclide từ F đến M:
- FM = \(\sqrt{\left(0 - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right)^2} = \frac{b}{2}\)

3. **Chứng minh các cạnh EH và FM có độ dài bằng nhau**:
- Ta nhận thấy EH = FM, tức tạo thành hình thang cân.

### Kết luận

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu của bài toán:
- AEMF là một hình chữ nhật.
- EHMF là một hình thang cân.