Cho hình thoi ABCD có góc B = 60 độ. Kẻ AE ⊥ DC, AF ⊥ BC

Chúng ta sẽ làm từ từ từng bài một nhé!

### Bài 1:
**Cho hình thoi ABCD có góc B = 60 độ. Kẻ AE ⊥ DC; AF ⊥ BC.**

**a) Chứng minh AE = AF:**

1. **Trong hình thoi ABCD**: Ta có AB = AD = BC = CD.
2. **Góc B = 60 độ**. Vậy góc A = góc C = 120 độ (vì tổng các góc của hình thoi bằng 360 độ và các góc đối bằng nhau).
3. **Kẻ AE ⊥ DC và AF ⊥ BC**: Ta có góc AEF và góc AFB là góc vuông.
4. **Trong tam giác ABE** và tứ giác ABF có:
- AE = AF là đoạn vuông góc từ A xuống các cạnh đối diện.
- Do hình thoi nên góc AEB = góc AFB = 60 độ.
5. **Sử dụng định lý Sin hoặc hệ thức lượng:** Ta có AE = AF.

**b) Chứng minh tam giác AEF đều:**

1. **Tam giác AEF**:
- AE = AF (đã chứng minh ở phần a).
- Góc AEF = góc AF = 60 độ (do tính chất của hình thoi).

=> Do đó, tam giác AEF là tam giác đều.

### Bài 2:
**Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BD, AC.**

**a) Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình hành:**

1. **Xét trung điểm**:
- M là trung điểm của AB => AM = MB.
- N là trung điểm của CD => CN = ND.
- P là trung điểm của BD => BP = PD.
- Q là trung điểm của AC => AQ = QC.

2. **Vì AB // CD**:
- MP // NQ (do các đường song song).
- MN // PQ (do cùng độ dài và trung điểm).

=> Tứ giác MPNQ là hình bình hành.

**b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?**

- Để tứ giác MPNQ là hình thoi, cần có BC = AD (điều kiện hình thang đều).

### Bài 3:
**Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F.**

**Chứng minh EF là phân giác của góc AED:**

1. **Xét tỉ lệ**:
- Theo định lý phân giác: AD/DB = AE/EC do AD là phân giác.
- Vì EF // AC và EF // AB nên có tỉ lệ AE/AF = AD/DB.

=> EF là phân giác của góc AED.

### Bài 4:
**Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.**

**a) EFGH là hình gì? Vì sao?**

- **EFGH là hình chữ nhật** vì mỗi cạnh đều là trung bình của 2 cạnh hình chữ nhật (EF // AG và FG // EH).

**b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy:**

1. **Xét vị trí các đường chéo**: AC và BD sẽ cắt nhau tại trung điểm hình chữ nhật.
2. Eg và FH do là đường nối trung điểm chia mỗi đoạn thành 2 phần bằng nhau => cắt nhau tại trung điểm AC và BD.

### Bài 5:
**Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.**

**a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?**

- **Tứ giác APMQ là hình bình hành** vì AP // MQ và AM // PQ.

**b) Chứng minh PQ // BC:**

- Do AM là trung tuyến => M chính là trung điểm, mà PQ nối trung điểm => PQ // BC.

Hy vọng phần giải thích và chứng minh trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán này! Nếu cần hỗ trợ thêm, đừng ngần ngại cho mình biết nhé!