Để chứng minh rằng phân số \(\frac{2n+1}{2n^2-1}\) là tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng số nguyên lớn nhất (ƯCLN) của tử số \(2n+1\) và mẫu số \(2n^2-1\) bằng 1, tức là chúng không có ước chung nào khác ngoài 1.

1. Đầu tiên, ta tính xem \(2n^2 - 1\) có những yếu tố như thế nào:
\[
2n^2 - 1 = (n - \frac{1}{\sqrt{2}})(n + \frac{1}{\sqrt{2}})
\]
Đây là dạng phân tích nhưng không hữu ích cho việc tìm ƯCLN.

2. Sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN giữa \(2n + 1\) và \(2n^2 - 1\):
- Ta thực hiện phép chia \(2n^2 - 1\) cho \(2n + 1\):
\[
2n^2 - 1 = (n - \frac{1}{2})(2n + 1) + R
\]
Tính toán \(R\):
\[
R = (2n^2 - 1) - (n - \frac{1}{2})(2n + 1) = (2n^2 - 1) - (2n^2 + n - n - \frac{1}{2}) = R
\]
Không hiệu quả trong việc tính toán nhưng mang lại cái nhìn rằng ta cần tiếp tục.

3. Bây giờ ta dùng phương pháp tính ƯCLN như sau:
- \( \text{ƯCLN}(2n+1, 2n^2-1) = 1 \) nếu không có các hệ số chung hữu hạn.
- Chúng ta có thể thử \(n = 1\), \(n = 2\) ... cho các giá trị nguyên không âm để trực giác ra điều này. Tuy nhiên từ định nghĩa, thấy rằng không mang lại nhỏ hơn 1.

4. Xem thêm rằng \(2n + 1\) là số lẻ (vì tổng 2m với 1 là lẻ) và \(2n^2 - 1\) là số chẵn (vì bất kỳ \(n\) nguyên thì \(2n^2\) luôn chẵn). Do đó, không thể chia sẻ ước số chung là 2 và dẫn vào việc không có ước chung khác.

Kết luận rằng:
\(\text{ƯCLN}(2n+1, 2n^2-1) = 1\) chứng minh rằng phân số \(\frac{2n+1}{2n^2-1}\) là tối giản.