Cho A = x^2 + 11x + m trong đó m là số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của m, giá trị lớn nhất của m để đa thức A là tích của hai đa thức với hệ số nguyên

Để đa thức \( A = x^2 + 11x + m \) có thể được phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên, nó cần có một cách viết dạng sau:

\[
A = (x + p)(x + q)
\]

trong đó \( p \) và \( q \) là các số nguyên.

Từ biểu thức này, ta có:

\[
A = x^2 + (p + q)x + pq
\]

So sánh với \( A = x^2 + 11x + m \), ta có:

1. \( p + q = 11 \)
2. \( pq = m \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( m \), ta cần tìm các cặp \( (p, q) \) thỏa mãn \( p + q = 11 \).

**Bước 1:** Xác định các cặp \( (p, q) \).

Ta có thể viết \( q \) dưới dạng \( q = 11 - p \). Thay vào công thức cho \( m \), chúng ta có:

\[
m = p(11 - p) = 11p - p^2
\]

**Bước 2:** Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất cho \( m \).

Để m đạt giá trị lớn nhất, hàm \( m = -p^2 + 11p \) là một hàm bậc hai mở xuống. Giá trị cực đại đạt được tại:

\[
p = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2(-1)} = \frac{11}{2} = 5.5
\]

Tuy nhiên, vì \( p \) phải là số nguyên, ta sẽ thử các giá trị gần nhất là \( p = 5 \) và \( p = 6 \):

- Khi \( p = 5 \):
\[
q = 11 - 5 = 6 \quad \Rightarrow \quad m = 5 \cdot 6 = 30
\]

- Khi \( p = 6 \):
\[
q = 11 - 6 = 5 \quad \Rightarrow \quad m = 6 \cdot 5 = 30
\]

Vậy giá trị lớn nhất của \( m \) là \( 30 \).

**Bước 3:** Tìm giá trị nhỏ nhất của \( m \).

Để thấy giá trị nhỏ nhất của \( m \), ta cần xem xét các cặp \( (p, q) \) sao cho \( p + q = 11 \):

Từ \( p + q = 11 \) và \( p, q \) đều là số nguyên dương, ta có thể thử các cặp như:

- \( p = 1, q = 10 \): \( m = 1 \cdot 10 = 10 \)
- \( p = 2, q = 9 \): \( m = 2 \cdot 9 = 18 \)
- \( p = 3, q = 8 \): \( m = 3 \cdot 8 = 24 \)
- \( p = 4, q = 7 \): \( m = 4 \cdot 7 = 28 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( m \) tìm được là \( 10 \).

**Kết luận:**

- Giá trị nhỏ nhất của \( m \) là \( 10 \).
- Giá trị lớn nhất của \( m \) là \( 30 \).

Do đó, ta có:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } m: 10
\]
\[
\text{Giá trị lớn nhất của } m: 30
\]