Chứng minh rằng P, N, O thẳng hàng

Để chứng minh các điểm \( A, G, I \) thẳng hàng trong bài 3 và các điểm \( P, N, O \) thẳng hàng trong bài 4, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và trung điểm trong hình học phẳng.

### Bài 3:
Cho tứ giác lồi \( ABCD \). Gọi \( M,N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( BD \). Gọi \( G \) là trọng tâm tam giác \( BCD \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( MN \).

1. **Tọa độ các điểm**:
- Gọi tọa độ điểm \( A( x_1, y_1 ) \), \( B( x_2, y_2 ) \), \( C( x_3, y_3 ) \), \( D( x_4, y_4 ) \).
- Tọa độ điểm \( M \) là:
\[
M \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
\]
- Tọa độ điểm \( N \) là:
\[
N \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right)
\]
- Tọa độ điểm \( G \) (trọng tâm của tam giác BCD) là:
\[
G \left( \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3} \right)
\]
- Tọa độ điểm \( I \) là:
\[
I \left( \frac{\frac{x_1+x_3}{2} + \frac{x_2+x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1+y_3}{2} + \frac{y_2+y_4}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} \right)
\]

2. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Các điểm \( A, G, I \) sẽ thẳng hàng nếu có số mũ \( \lambda \) sao cho:
\[
I = \lambda A + (1-\lambda) G
\]
- Thay tọa độ và giải hệ phương trình, ta có thể kiểm tra tính liên hệ của các điểm.

### Bài 4:
Cho tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \) và \( M \) là điểm trên cạnh \( BC \) (với \( BM > MC \)). Đường thẳng vuông góc \( BC \) tại \( M \) cắt \( AB \) và \( AC \) tại \( D \) và \( E \). Gọi \( I, K \) lần lượt là trung điểm của \( EC \) và \( BD \). Gọi \( P, N, O \) lần lượt là trung điểm \( AB, AC, KI \).

1. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Gọi tọa độ điểm \( A(0, 0) \), \( B(-a, 0) \), \( C(0, a) \), trong đó \( a > 0 \).
- Điểm \( M \) trên đoạn thẳng \( BC \) có tọa độ: \( M(x_M, y_M) \).
- Tọa độ các điểm \( D, E \) có thể tìm được thông qua phương trình của các đường thẳng.
- Một lần nữa, sử dụng công thức trung điểm, chúng ta tìm tọa độ điểm \( I \) và \( K \).
- Chứng minh rằng \( P, N, O \) thẳng hàng bằng cách chỉ ra tỉ số thích hợp hoặc sử dụng định lý Menelaus hoặc Ceva.

### Kết luận:
Cả hai bài toán đều có thể chứng minh bằng cách xây dựng tọa độ cho các điểm, sau đó kiểm tra xem các điểm có thẳng hàng không. Các công thức cho trung điểm và trọng tâm sẽ là công cụ hữu ích trong chứng minh này.