Chọn ngẫu nhiên một số trong dãy số 1; 2; 3;...199; 200. Tìm xác suất để chọn được số chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3

Để tính xác suất chọn ngẫu nhiên một số từ dãy số 1 đến 200 và thỏa mãn điều kiện chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, và chia cho 5 dư 3, chúng ta cần xác định các số thỏa mãn các điều kiện này.

1. **Chia cho 3 dư 1**:
- Các số thỏa mãn điều kiện này có dạng: \( n = 3k + 1 \) với \( k = 0, 1, 2, \ldots \)
- Trong dãy số 1 đến 200, các số này là: 1, 4, 7, ..., 199.
- Đây là một dãy số số học với \( a_1 = 1 \), \( d = 3 \). Để tìm số hạng lớn nhất không vượt quá 200:
\[
a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 \leq 200 \Rightarrow n = \left\lfloor \frac{200 - 1}{3} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{199}{3} \right\rfloor + 1 = 66 + 1 = 67
\]

2. **Chia cho 4 dư 2**:
- Các số thỏa mãn điều kiện này có dạng: \( n = 4m + 2 \) với \( m = 0, 1, 2, \ldots \)
- Trong dãy số 1 đến 200, các số này là: 2, 6, 10, ..., 198.
- Để tìm số hạng lớn nhất không vượt quá 200:
\[
a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 \leq 200 \Rightarrow n = \left\lfloor \frac{200 - 2}{4} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{198}{4} \right\rfloor + 1 = 49 + 1 = 50
\]

3. **Chia cho 5 dư 3**:
- Các số thỏa mãn điều kiện này có dạng: \( n = 5p + 3 \) với \( p = 0, 1, 2, \ldots \)
- Trong dãy số 1 đến 200, các số này là: 3, 8, 13, ..., 198.
- Để tìm số hạng lớn nhất không vượt quá 200:
\[
a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 \leq 200 \Rightarrow n = \left\lfloor \frac{200 - 3}{5} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{197}{5} \right\rfloor + 1 = 39 + 1 = 40
\]

4. **Giải hệ phương trình**:
Chúng ta cần phải tìm các số thỏa mãn cả 3 điều kiện trên, tức là:
\[
n \equiv 1 \,(\text{mod}\, 3)
\]
\[
n \equiv 2 \,(\text{mod}\, 4)
\]
\[
n \equiv 3 \,(\text{mod}\, 5)
\]

Ta sẽ giải hệ phương trình này.

Bắt đầu từ 2 điều kiện đầu tiên:

- \( n \equiv 1 \,(\text{mod}\, 3) \) và \( n \equiv 2 \,(\text{mod}\, 4) \):

Ký hiệu \( n = 4k + 2 \), thay vào điều kiện chia cho 3:
\[
4k + 2 \equiv 1 \, (\text{mod}\, 3) \Rightarrow k + 2 \equiv 1 \, (\text{mod}\, 3) \Rightarrow k \equiv -1 \equiv 2 \, (\text{mod}\, 3)
\]
Kí hiệu \( k = 3m + 2 \), thay vào công thức của \( n \):
\[
n = 4(3m + 2) + 2 = 12m + 10
\]

Tiếp tục với điều kiện thứ ba:
\[
12m + 10 \equiv 3 \, (\text{mod}\, 5) \Rightarrow 2m + 0 \equiv 3 \, (\text{mod}\, 5) \Rightarrow 2m \equiv 3 \, (\text{mod}\, 5)
\]
Nhân đôi cả hai vế để tìm \( m \):
\[
4m \equiv 6 \, (\text{mod}\, 5) \Rightarrow 4m \equiv 1 \, (\text{mod}\, 5)
\]
Giải phương trình này, ta thấy \( m \equiv 4 \, (\text{mod}\, 5) \), hay \( m = 5t + 4 \). Thay vào công thức của \( n \):
\[
n = 12(5t + 4) + 10 = 60t + 58
\]

5. **Tìm các giá trị của n**:
Ta cần \( n \) chạy từ 1 đến 200:
\[
60t + 58 \leq 200 \Rightarrow t \leq \frac{142}{60} \Rightarrow t \leq 2
\]
Giá trị của \( t \) là 0, 1, hay 2. Tương ứng, ta có:
- \( t = 0 \Rightarrow n = 58 \)
- \( t = 1 \Rightarrow n = 118 \)
- \( t = 2 \Rightarrow n = 178 \)

Vậy số thỏa mãn là 58, 118, 178.

6. **Xác suất**:
Số các số nguyên trong khoảng 1 đến 200 là 200, và chúng ta có 3 số thỏa mãn điều kiện, do đó xác suất:
\[
P = \frac{3}{200}
\]

Tóm lại, xác suất để chọn được số chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3 là \( \frac{3}{200} \).