Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Để chứng minh rằng với x>y>0x > y > 0x>y>0, thì biểu thức
(xx+yx)(x−y)xy\frac{(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} \sqrt{y}}xy(xx+yx)(x−y)lớn hơn 0, ta sẽ thực hiện các bước sau:
Xác định biểu thức:
Ta cần chứng minh rằng biểu thức
(xx+yx)(x−y)xy\frac{(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} \sqrt{y}}xy(xx+yx)(x−y)là dương. Để làm điều này, ta sẽ làm đơn giản hóa biểu thức và kiểm tra dấu của nó.
Đơn giản hóa biểu thức:
Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của tử số:
(xx+yx)(x−y)(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})(xx+yx)(x−y)Phân phối và nhân các phần tử trong dấu ngoặc:
(xx+yx)(x−y)=xx⋅x−xx⋅y+yx⋅x−yx⋅y(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = x \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - x \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + y \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - y \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}(xx+yx)(x−y)=xx⋅x−xx⋅y+yx⋅x−yx⋅y =xx−xxy+yx−yxy= x x - x \sqrt{x} \sqrt{y} + y x - y \sqrt{x} \sqrt{y}=xx−xxy+yx−yxy =x2−xxy+yx−yxy= x^2 - x \sqrt{x y} + y x - y \sqrt{x y}=x2−xxy+yx−yxy =x2+yx−2xxy= x^2 + y x - 2 x \sqrt{x y}=x2+yx−2xxyChia biểu thức trên cho xy\sqrt{x} \sqrt{y}xy:
x2+yx−2xxyxy\frac{x^2 + y x - 2 x \sqrt{x y}}{\sqrt{x} \sqrt{y}}xyx2+yx−2xxySắp xếp lại biểu thức:
Đặt a=xa = \sqrt{x}a=x và b=yb = \sqrt{y}b=y, thì biểu thức có thể viết lại thành:
(xa+ya)(a−b)ab\frac{(x a + y a)(a - b)}{a b}ab(xa+ya)(a−b) =(xa+ya)⋅a−(xa+ya)⋅bab= \frac{(x a + y a) \cdot a - (x a + y a) \cdot b}{a b}=ab(xa+ya)⋅a−(xa+ya)⋅b =xa2−xab+ya2−yabab= \frac{x a^2 - x a b + y a^2 - y a b}{a b}=abxa2−xab+ya2−yab =xa2+ya2−(x+y)abab= \frac{x a^2 + y a^2 - (x + y) a b}{a b}=abxa2+ya2−(x+y)ab =a2(x+y)−ab(x+y)ab= \frac{a^2 (x + y) - a b (x + y)}{a b}=aba2(x+y)−ab(x+y) =(x+y)(a2−ab)ab= \frac{(x + y) (a^2 - a b)}{a b}=ab(x+y)(a2−ab) =x+yxy⋅(x−y)= \frac{x + y}{\sqrt{x y}} \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{y})=xyx+y⋅(x−y)Kiểm tra dấu của biểu thức:
Vì x>y>0x > y > 0x>y>0, thì x>y\sqrt{x} > \sqrt{y}x>y. Do đó, x−y\sqrt{x} - \sqrt{y}x−y là dương.
Đồng thời, x+yxy\frac{x + y}{\sqrt{x y}}xyx+y cũng dương vì xxx và yyy đều dương và xy\sqrt{x y}xy là dương.
Do đó, tích của hai số dương là dương. Vì vậy, biểu thức trên là dương.
Kết luận: Biểu thức
(xx+yx)(x−y)xy\frac{(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} \sqrt{y}}xy(xx+yx)(x−y)là dương khi x>y>0x > y > 0x>y>0.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
FB group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
FB page: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |