Để chứng minh rằng với x>y>0x > y > 0x>y>0, thì biểu thức

lớn hơn 0, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định biểu thức:

   Ta cần chứng minh rằng biểu thức

   (xx+yx)(x−y)xy\frac{(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} \sqrt{y}}x​y​(xx​+yx​)(x​−y​)​

   là dương. Để làm điều này, ta sẽ làm đơn giản hóa biểu thức và kiểm tra dấu của nó.

2. Đơn giản hóa biểu thức:

   Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của tử số:

   (xx+yx)(x−y)(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y})(xx​+yx​)(x​−y​)

   Phân phối và nhân các phần tử trong dấu ngoặc:

   (xx+yx)(x−y)=xx⋅x−xx⋅y+yx⋅x−yx⋅y(x \sqrt{x} + y \sqrt{x})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = x \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - x \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + y \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - y \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}(xx​+yx​)(x​−y​)=xx​⋅x​−xx​⋅y​+yx​⋅x​−yx​⋅y​ =xx−xxy+yx−yxy= x x - x \sqrt{x} \sqrt{y} + y x - y \sqrt{x} \sqrt{y}=xx−xx​y​+yx−yx​y​ =x2−xxy+yx−yxy= x^2 - x \sqrt{x y} + y x - y \sqrt{x y}=x2−xxy​+yx−yxy​ =x2+yx−2xxy= x^2 + y x - 2 x \sqrt{x y}=x2+yx−2xxy​

   Chia biểu thức trên cho xy\sqrt{x} \sqrt{y}x​y​:

   x2+yx−2xxyxy\frac{x^2 + y x - 2 x \sqrt{x y}}{\sqrt{x} \sqrt{y}}x​y​x2+yx−2xxy​​

3. Sắp xếp lại biểu thức:

   Đặt a=xa = \sqrt{x}a=x​ và b=yb = \sqrt{y}b=y​, thì biểu thức có thể viết lại thành:

   (xa+ya)(a−b)ab\frac{(x a + y a)(a - b)}{a b}ab(xa+ya)(a−b)​ =(xa+ya)⋅a−(xa+ya)⋅bab= \frac{(x a + y a) \cdot a - (x a + y a) \cdot b}{a b}=ab(xa+ya)⋅a−(xa+ya)⋅b​ =xa2−xab+ya2−yabab= \frac{x a^2 - x a b + y a^2 - y a b}{a b}=abxa2−xab+ya2−yab​ =xa2+ya2−(x+y)abab= \frac{x a^2 + y a^2 - (x + y) a b}{a b}=abxa2+ya2−(x+y)ab​ =a2(x+y)−ab(x+y)ab= \frac{a^2 (x + y) - a b (x + y)}{a b}=aba2(x+y)−ab(x+y)​ =(x+y)(a2−ab)ab= \frac{(x + y) (a^2 - a b)}{a b}=ab(x+y)(a2−ab)​ =x+yxy⋅(x−y)= \frac{x + y}{\sqrt{x y}} \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{y})=xy​x+y​⋅(x​−y​)

4. Kiểm tra dấu của biểu thức:

   Vì x>y>0x > y > 0x>y>0, thì x>y\sqrt{x} > \sqrt{y}x​>y​. Do đó, x−y\sqrt{x} - \sqrt{y}x​−y​ là dương.

   Đồng thời, x+yxy\frac{x + y}{\sqrt{x y}}xy​x+y​ cũng dương vì xxx và yyy đều dương và xy\sqrt{x y}xy​ là dương.

   Do đó, tích của hai số dương là dương. Vì vậy, biểu thức trên là dương.

Kết luận: Biểu thức

là dương khi x>y>0x > y > 0x>y>0.