Cho đa thức f(x) thỏa mãn: (x² - 4).f(x) = x.f(x - 4) với mọi x. Chứng tỏ đa thức f(x) có ít nhất 3 nghiệm

Để chứng minh đa thức \( f(x) \) có ít nhất 3 nghiệm, ta xét phương trình đã cho:

\[
(x^2 - 4) f(x) = x f(x - 4)
\]

Ta phân tích các yếu tố trong phương trình:

1. **Xét các giá trị x = 2 và x = -2:**
- Khi \( x = 2 \):
\[
(2^2 - 4) f(2) = 2 f(2 - 4) \implies 0 = 2 f(-2) \implies f(-2) = 0
\]

- Khi \( x = -2 \):
\[
((-2)^2 - 4) f(-2) = -2 f(-2 - 4) \implies 0 = -2 f(-6) \implies f(-6) = 0
\]

2. **Xét khi \( x = 0 \):**
\[
(0^2 - 4) f(0) = 0 \cdot f(0 - 4) \implies -4 f(0) = 0 \implies f(0) = 0
\]

Từ ba giá trị trên, ta có:
- \( f(-2) = 0 \)
- \( f(0) = 0 \)
- \( f(-6) = 0 \)

Vậy đa thức \( f(x) \) có ít nhất 3 nghiệm: \( -6, -2, 0 \).

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( f(x) \) có ít nhất ba nghiệm.