Cho tứ giác ABCD có phần giác trong của ∠A và phần giác trong của ∠D cắt nhau tại M, tia phần giác trong của ∠A và tia phần giác trong của ∠B cắt nhau tại N. Tia phần giác trong của ∠B và tia phần giác trong của ∠C cắt nhau tại P, tia phần giác trong của ∠C và tia phần giác trong của ∠D cắt nhau tại Q. Biết MP ⊥ NQ. Chứng minh rằng: ABCD là hình thang cân

Để chứng minh rằng tứ giác \( ABCD \) là hình thang cân, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của các điểm \( M, N, P, Q \) và điều kiện \( MP \perp NQ \).

1. **Tính chất các tia phần giác**:
- Tia phần giác trong của góc \( A \) và góc \( D \) cắt nhau tại \( M \) cho thấy rằng \( M \) thuộc đoạn thẳng nối hai đáy của hình thang.
- Tương tự, \( N \) thuộc đoạn nối \( A \) và \( B \), \( P \) thuộc đoạn nối \( B \) và \( C \), \( Q \) thuộc đoạn nối \( C \) và \( D \).

2. **Điều kiện vuông góc**:
- Ta có điều kiện \( MP \perp NQ \). Điều này cho thấy rằng hai đoạn thẳng \( MP \) và \( NQ \) tạo thành một góc vuông, đồng thời xác định một tọa độ đặc biệt cho các điểm.

3. **Hệ quả**:
- Khi ta có \( MP \perp NQ \), ta có thể kết luận rằng góc \( ANB \) và góc \( CPD \) có một mối quan hệ đặc biệt. Cụ thể, góc \( ANB \) có thể bằng góc \( CPD \) do tính chất của các phần giác.

4. **Kết luận**:
- Dựa vào ngũ giác và các điểm cắt nhau, ta có thể suy ra rằng góc ở \( B \) so với đường thẳng \( MP \) sẽ bằng góc ở \( C \) so với \( NQ \).
- Do đó, \( AB \parallel CD \) và \( AD = BC \) (tính chất của hình thang cân).

Từ những lập luận trên, ta có thể khẳng định rằng tứ giác \( ABCD \) chính là một hình thang cân.