Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh ΔABH ~ ΔCBA

1. **Tam giác ABC vuông tại A** có các cạnh:
- AB = 6 cm (độ dài cạnh huyền)
- AC = 8 cm (độ dài cạnh góc vuông)

2. **Tính độ dài cạnh BC bằng định lý Pythagore**:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

3. **Tam giác ABH và CBA**:
- ΔABH có góc A bằng 90 độ (góc vuông tại A);
- ΔCBA cũng có góc C là 90 độ (góc vuông tại C);
- Ta có 2 góc chéo: góc B của ΔABH bằng góc B của ΔCBA.

4. **Kết luận**:
Do đó, ΔABH ~ ΔCBA (có 2 góc tương ứng bằng nhau và góc vuông).

### b) Tính AD, DC

Dựa vào tỉ lệ của 2 tam giác vuông đồng dạng:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AC}
\]

Do đó:
- AD = AH * (AB / AC)
- DC = AC - AH

### c) Tính diện tích ABHI

1. Diện tích của tam giác ABC (vuông tại A):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2
\]

2. **Diện tích của ABHI** có thể tính bằng diện tích của tam giác ABC trừ đi diện tích của tam giác ACI.

### Kết luận

Bằng cách hoàn thiện các phép tính, bạn sẽ có các giá trị cho AD, DC và diện tích ABHI. Nếu cần thêm chi tiết hoặc có số liệu cụ thể để tính toán, hãy cho tôi biết!