Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng yêu cầu một.

### a) Tính độ dài cạnh BD khi biết AD = 4 cm

1. **Tam giác ABC là tam giác đều** vì AB = AC.
2. Kẻ đường cao AD từ đỉnh A xuống cạnh BC.
3. Theo tính chất trong tam giác cân, đường cao AD cũng đồng thời là trung tuyến và phân giác.
4. Gọi BD = DC = x. Khi đó, ta có:

\[
AD^2 + BD^2 = AB^2
\]

Thay vào với các giá trị đã biết:

\[
4^2 + x^2 = 5^2
\]
\[
16 + x^2 = 25
\]
\[
x^2 = 25 - 16 = 9
\]
\[
x = 3
\]

Vậy, \( BD = 3 \, \text{cm} \).

### b) Chứng minh \( AH:HD = HE:BH \)

1. **Kẻ đường thẳng AE song song với BC**, nghĩa là \( AH \) và \( HD \) sẽ cùng hướng với \( HE \) và \( BH \).
2. Đặt \( HE = a \) và \( BH = b \), ta cần chứng minh:

\[
\frac{AE}{EF} = \frac{BH}{AB}
\]

3. Sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác đồng dạng mà ta có từ việc kẻ đường thẳng song song, khi cả hai tam giác \( AHE \) và \( AHB \) có cùng góc.

### c) Chứng minh \( \frac{AE}{EF} = \frac{BH}{AB} \)

1. Ta đã chứng minh được các tỉ số này thông qua tỉ lệ đồng dạng của các tam giác.
2. Áp dụng số liệu đã biết:

- \( AB = 5 \)
- \( BH = b \) và \( EF = b + a \)

Nên:

\[
\frac{AE}{EF} = \frac{b}{5}
\]

Từ đó, ta có thể hoàn thành câu hỏi.

Nếu bạn cần thêm chi tiết cho từng phần, hãy cho tôi biết!