Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a:

Cho tứ giác \( NMPQ \), có \( PM \) là tia phân giác của góc \( \angle NPQ \).

- Ta có:
- \( \angle QMN = 110^\circ \)
- \( \angle NMP = 120^\circ \)
- \( \angle QP = 60^\circ \)

Từ đó, để tìm được các góc \( \angle MPQ \) và \( \angle QMP \), ta có thể dùng tính chất của tia phân giác:

\[ \frac{\angle MPQ}{\angle QMP} = \frac{QN}{MN} \]

- Các góc trong tứ giác \( NMPQ \) có tổng là \( 360^\circ \):
\[
\angle MPQ + \angle QMP + \angle QMN + \angle NMP = 360^\circ
\]
\[
\angle MPQ + \angle QMP + 110^\circ + 120^\circ = 360^\circ
\]
\[
\angle MPQ + \angle QMP = 130^\circ
\]

Giả sử \( \angle MPQ = x \) và \( \angle QMP = y \), vậy chúng ta có:
\[
x + y = 130^\circ
\]
Và theo tỉ lệ tia phân giác:
\[
\frac{x}{y} = \frac{QN}{MN}
\]

Chúng ta cần thêm thông tin để tính được \( x \) và \( y \).

### Phần b:

Tính chiều dài đường trượt \( AC \).

- Hình có độ cao \( BH = 3m \) và đáy \( AB = 10m \).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABH \):
\[
AC^2 = AB^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = 10^2 + 3^2 = 100 + 9 = 109
\]
\[
AC = \sqrt{109} \approx 10.44 \, m
\]

Do đó, chiều dài đường trượt \( AC \approx 10.44 \, m \).

### Kết luận:

- Các góc \( \angle MPQ \) và \( \angle QMP \) cần thêm thông tin để tính cụ thể, trong khi chiều dài \( AC \approx 10.44 \, m \).