Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Giải phương trình:
\[
\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{5}{x + 2} + \frac{12}{x^2 - 4} + 1
\]

Đầu tiên, nhận thấy rằng \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Ta có thể hợp nhất các phân số:

Chuyển tất cả về cùng mẫu số:
\[
\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{5(x - 2) + 12}{(x + 2)(x - 2)} + 1
\]

Giải phương trình này về \(x\).

### b) Giải phương trình:
\[
|2x + 6| - x = 3
\]

Đầu tiên xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối:

1. **Trường hợp 1**: \(2x + 6 - x = 3 \Rightarrow x + 6 = 3 \Rightarrow x = -3\)
2. **Trường hợp 2**: \(- (2x + 6) - x = 3 \Rightarrow -2x - 6 - x = 3 \Rightarrow -3x = 9 \Rightarrow x = -3\)

Với cả hai trường hợp, ta có \(x = -3\).

### c) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm:
\[
\frac{2x + 2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{3x - 2}{4} > 0
\]

Tìm mẫu số chung (LCM) của 5, 10 và 4 là 20. Do đó,

\[
\frac{4(2x + 2)}{20} + \frac{6}{20} - \frac{5(3x - 2)}{20} > 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{8x + 8 + 6 - 15x + 10}{20} > 0 \Rightarrow \frac{-7x + 24}{20} > 0
\]
\[
-7x + 24 > 0 \Rightarrow 7x < 24 \Rightarrow x < \frac{24}{7}
\]

Kết quả là \(x < \frac{24}{7}\) và ta có thể biểu diễn trên trục số.