Để giải phương trình \( \frac{x(2x + 1)}{7} = 2^2 + 3^2 \), trước tiên, chúng ta sẽ tính giá trị bên phải của phương trình.

Bên phải:
\[
2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
\]

Giờ đây, chúng ta có phương trình:
\[
\frac{x(2x + 1)}{7} = 13
\]

Tiếp theo, nhân cả hai bên với 7 để loại bỏ mẫu số:
\[
x(2x + 1) = 13 \cdot 7
\]
\[
x(2x + 1) = 91
\]

Tiếp theo, mở rộng phương trình:
\[
2x^2 + x - 91 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -91 \).

Tính \( b^2 - 4ac \):
\[
b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-91) = 1 + 728 = 729
\]

Tiếp theo, tính giá trị của \( \sqrt{729} \):
\[
\sqrt{729} = 27
\]

Bây giờ thay vào công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm 27}{2 \cdot 2}
\]
\[
x = \frac{-1 + 27}{4} = \frac{26}{4} = 6.5
\]
và
\[
x = \frac{-1 - 27}{4} = \frac{-28}{4} = -7
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là:
\[
x = 6.5 \text{ và } x = -7
\]