Để tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho phương trình

\[
\sqrt{x_1^2 + 4m x_1 + m^2} + \sqrt{x_2^2 + 4m x_2 + 4m} = 7m + 2
\]

có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định điều kiện về nghiệm phân biệt**: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, phải đảm bảo rằng hai biểu thức đường thẳng và đường cong không cắt nhau tại một điểm trùng lặp.

2. **Giải phương trình**: Ta cần viết lại phương trình và xác định các điều kiện cho \( m \) sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt.

3. **Tính toán điều kiện**:
- Nhận thấy rằng phương trình có dạng tổng hợp của hai căn bậc hai. Vấn đề có thể được tiếp cận bằng cách bình phương cả hai vế và rút gọn để tìm ra mối liên hệ giữa \( x_1 \) và \( x_2 \).

4. **Sử dụng định lý về nghiệm**: Bằng cách quy các biểu thức về dạng phương trình bậc hai và áp dụng điều kiện của nghiệm phân biệt cho một phương trình bậc hai, tức là phải đảm bảo rằng:
\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
với \( a, b, c \) là các hệ số tương ứng trong phương trình nhận được.

5. **Giải hệ bất phương trình**: Cuối cùng, tìm ra các giá trị của m thỏa mãn điều kiện đã đặt ra.

Lưu ý rằng những phép toán này có thể khá phức tạp tùy thuộc vào dạng cuối cùng của phương trình. Bạn có thể thực hiện từng bước một cách cẩn thận và tìm các giá trị cụ thể cho \( m \) trong khoảng nào đó.

Nếu bạn cần cụ thể hơn về từng bước giải, hãy cho tôi biết!