Dưới đây là phân tích đa thức thành nhân tử cho từng bài toán trong ảnh:

### a) \( x^2 + x + \frac{1}{4} \)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \). Ta có thể tìm nghiệm bằng cách sử dụng công thức nghiệm, nhưng ở đây, ta nhận ra rằng biểu thức có thể viết dưới dạng bình phương:

\[
x^2 + x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2
\]

### b) \( 10x - 25 - x^2 \)

Tái sắp xếp lại ta có:

\[
-x^2 + 10x - 25 = - (x^2 - 10x + 25)
\]

Biểu thức trong ngoặc là một bình phương hoàn hảo:

\[
-x^2 + 10x - 25 = - (x - 5)^2
\]

### c) \( 121x^4 - y^2 \)

Đây là một biểu thức dạng hiệu của hai bình phương:

\[
121x^4 - y^2 = (11x^2)^2 - (y)^2 = (11x^2 - y)(11x^2 + y)
\]

### d) \( 125x^3 - \frac{y^3}{27} \)

Đây cũng là hiệu của hai bình phương, ta viết lại phần thứ hai:

\[
125x^3 - \left(\frac{y}{3}\right)^3 = (5x)^3 - \left(\frac{y}{3}\right)^3
\]

Dùng công thức phân tích hiệu của hai lập phương:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Với \( a = 5x \) và \( b = \frac{y}{3} \):

\[
= (5x - \frac{y}{3})((5x)^2 + (5x)(\frac{y}{3}) + (\frac{y}{3})^2)
\]
\[
= (5x - \frac{y}{3})(25x^2 + \frac{5xy}{3} + \frac{y^2}{9})
\]

### Kết luận

Các phân tích thành nhân tử có thể được tóm gọn như sau:
- a) \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \)
- b) \( - (x - 5)^2 \)
- c) \( (11x^2 - y)(11x^2 + y) \)
- d) \( (5x - \frac{y}{3})(25x^2 + \frac{5xy}{3} + \frac{y^2}{9}) \)