Cho hệ phương trình \(\begin{cases} 2 + my = 2m \\ mx + y = 1 - m \end{cases}\) a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. b) Trong trường hợp hệ pt có nghiệm \((x, y)\): a1) Tìm liệu thức biểu thức liên quan và không phụ thuộc vào m. ..

Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành từng phần như yêu cầu:

### a) Tìm các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm.

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
2 + my = 2m \\
mx + y = 1 - m
\end{cases}
\]

**Bước 1:** Chuyển đổi hệ phương trình.

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
my = 2m - 2 \implies y = \frac{2m - 2}{m} \quad (m \neq 0)
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
mx + \frac{2m - 2}{m} = 1 - m
\]

Khi nhân cả hai vế với \( m \), ta có:
\[
m^2x + 2m - 2 = m(1 - m)
\]

Giải phương trình:
\[
m^2x + 2m - 2 = m - m^2
\]
\[
m^2x + 2m - 2 - m + m^2 = 0
\]
\[
m^2x + m^2 + m - 2 = 0
\]
\[
m^2(x + 1) + m - 2 = 0
\]

**Bước 2:** Xét điều kiện có nghiệm cho phương trình này.

Xét phương trình bậc nhất:
\[
m^2(x + 1) + m - 2 = 0
\]

Nếu \( m^2 \neq 0 \) (tức là \( m \neq 0 \)), thì ta có nghiệm cho mọi \( x \) nếu:
\[
m - 2 = 0 \implies m = 2
\]

Nếu \( m = 0 \), phương trình trở thành:
\[
-2 = 0 \text{ (vô nghiệm)}
\]

Như vậy, hệ có nghiệm nếu \( m = 2 \).

### b) Trong trường hợp hệ có nghiệm \((x, y)\):

Khi \( m = 2 \):
- Thay vào hệ phương trình, ta có:
\[
\begin{cases}
2 + 2y = 4 \\
2x + y = -1
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên:
\[
2y = 4 - 2 \implies y = 1
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]

=> Nghiệm \((x, y) = (-1, 1)\).

### a1) Tìm liệu thức biểu thức liên quan và không phụ thuộc vào \( m \):

Xét biểu thức:
- Giá trị \( x + y \):
\[
x + y = -1 + 1 = 0
\]

### b) Tìm các giá trị \( m \) nguyên để \( x \) và \( y \) cùng nguyên:

Ta thấy hệ phương trình có nghiệm khi \( m = 2 \). Vậy \( m \) = 2 là giá trị nguyên duy nhất để chúng ta có được nghiệm nguyên \((x, y) = (-1, 1)\).

### Kết luận:
- \( m = 2 \) là giá trị duy nhất để hệ phương trình có nghiệm.
- Nghiệm \((x, y) = (-1, 1)\).