Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần a, b, c như đã đề cập.

### a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

**Giả sử:**
- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn \( HB \), do đó \( O \) là tâm của đường tròn đường kính \( HB \).
- Gọi \( P \) là trung điểm của đoạn \( HC \), thì \( P \) là tâm của đường tròn đường kính \( HC \).

**Chứng minh:**
1. Tứ giác \( ADHE \) có bốn góc vuông:
- \( \angle ADB = 90^\circ \) do \( AD \) nằm trên đường tròn với đường kính \( HB \).
- \( \angle AEC = 90^\circ \) do \( AE \) nằm trên đường tròn với đường kính \( HC \).
2. Do đó, \( AD \) vuông góc với \( AB \) và \( AE \) vuông góc với \( AC \).
3. Từ hai góc vuông ở \( A \), ta có:
- \( \angle ADH = \angle AEC = 90^\circ \)
- \( \angle ADB + \angle AEC = 180^\circ \)
4. Suy ra \( ADHE \) là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

### b. Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)

**Giả sử:**
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( AH = h \), \( AD = x \), \( AE = y \).

**Chứng minh:**
- Theo định lý lượng giác trong tam giác vuông, ta có:
1.
\[
AD = AB \cdot \sin(B) \quad (1)
\]
2.
\[
AE = AC \cdot \sin(C) \quad (2)
\]

Vì trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
- \( B + C = 90^\circ \)
- \( \sin(B) = \cos(C) \)

Thay vào (1) và (2):
\[
AD \cdot AB = AB \cdot \sin(B) \cdot AB = AB^2 \cdot \cos(C)
\]
\[
AE \cdot AC = AC \cdot \sin(C) \cdot AC = AC^2 \cdot \sin(B)
\]

Sử dụng tính chất \( \sin(B) = \cos(C) \):

\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]
Vì vậy, ta có được kết quả cần chứng minh.

### c. Cho \( AB = 3cm; BC = 5cm \). Tính \( DE \) và diện tích tứ giác \( DEKI \)

**Tính độ dài của AC**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông:
\[
AC^2 = BC^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AC = 4 \text{ cm}
\]

**Tính AD và AE**:
- Khi đã có \( AB = 3cm\) và \( AC = 4cm\):
\[
AD = AB \cdot \sin(B) = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5} \text{ cm}
\]
\[
AE = AC \cdot \sin(C) = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} \text{ cm}
\]

**Tính \( DE \)**:
- Theo tỉ số giữa các đoạn đã tính:
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{\left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{25} + \frac{256}{25}} = \sqrt{\frac{337}{25}} = \frac{\sqrt{337}}{5} \text{ cm}
\]

**Diện tích của tứ giác \( DEKI \)**:
- Diện tích tứ giác \( DEKI = \frac{1}{2} \times DE \times HI\) trong đó \( HI \) là chiều cao từ \( H \) đến đường thẳng \( DE\).
- \( HI \) có thể tính được từ tỉ số tam giác vuông.

**Cách ước lượng cuối**:
- Sử dụng các độ dài tính toán được để thay vào công thức tính diện tích mà bạn biết.

Với những tính toán trên bạn sẽ có được đủ thông tin cần thiết để giải bài toán này.