Tính số đo góc EOF và chứng minh OP = OQ

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ tính số đo góc EOF và sau đó chứng minh OP = OQ.

Giả sử tam giác DEF có các độ dài cạnh DE, DF và EF. Theo giả thiết, chúng ta có:

\[
\angle EDF = 60^\circ
\]

### a) Tính số đo góc EOF

1. Do \( PE \) là tia phân giác của góc \( E \) trong tam giác \( DEF \), ta có:
\[
\angle DEP = \frac{1}{2} \angle DEF
\]

2. Tương tự, do \( QF \) là tia phân giác của góc \( F \), ta có:
\[
\angle EQF = \frac{1}{2} \angle EFD
\]

3. Biết rằng tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \):
\[
\angle DEF + \angle EFD + \angle EDF = 180^\circ
\]

4. Thay \( \angle EDF = 60^\circ \) vào phương trình:
\[
\angle DEF + \angle EFD + 60^\circ = 180^\circ
\]
Kết luận:
\[
\angle DEF + \angle EFD = 120^\circ
\]

5. Gọi \( \angle DEF = a \) và \( \angle EFD = b \), thì \( a + b = 120^\circ \).

6. Do đó, ta có:
\[
\angle DEP = \frac{1}{2} a \quad \text{và} \quad \angle EQF = \frac{1}{2} b
\]

7. Tiếp theo, tính góc \( EOF \):
\[
\angle EOF = \angle DEP + \angle EQF = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{1}{2}(a + b) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ
\]

Vậy số đo góc \( EOF \) là \( 60^\circ \).

### b) Chứng minh OP = OQ

1. Từ \( O \) là giao điểm của \( PE \) và \( QF \).

2. Ta có hai tam giác \( \triangle DEO \) và \( \triangle FPO \).
- \( PE \) là tia phân giác của góc \( \angle DEF \).
- \( QF \) là tia phân giác của góc \( \angle EFD \).

3. Do \( PE \) và \( QF \) cắt nhau tại \( O \), ta có:
- \( \angle ODP = \angle DEP \)
- \( \angle OQF = \angle EQF \)

4. Xét góc \( EOF \):
\[
\angle EOF = \angle DEP + \angle EQF
\]
Với \( \angle DEP = \angle EQF = 30^\circ \) (do vừa tính được \( \angle EOF = 60^\circ \)), ta có:
\[
OP \text{ và } OQ \text{ là hai đoạn thẳng phân chia góc chéo nhau.}
\]

5. Theo tính chất của tia phân giác:
- Ta có \( \frac{OP}{OQ} = \frac{DE}{EF} \).

6. Tuy nhiên, do các tia phân giác chia thành hai phần không đổi tỉ lệ, tức là:
\[
OP = OQ
\]

Vậy việc chứng minh \( OP = OQ \) là đúng.

#### Kết luận:
- Số đo góc \( EOF \) là \( 60^\circ \).
- Chứng minh \( OP = OQ \) là chính xác.