Chứng minh A = 4x^2+10y^2+2z^2-4xy-4yz-4zx lớn hơn hoặc bằng 0

Để chứng minh biểu thức \( A = 4x^2 + 10y^2 + 2z^2 - 4xy - 4yz - 4zx \) lớn hơn hoặc bằng 0, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích ma trận hoặc phương pháp hoàn thành bình phương. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[
A = 4x^2 - 4xy - 4zx + 10y^2 - 4yz + 2z^2
\]

Chúng ta sẽ nhóm các biến lại với nhau và sắp xếp lại:

\[
A = 4(x^2 - xy - zx) + 10y^2 - 4yz + 2z^2
\]

Tiếp theo, chúng ta hoàn thành bình phương cho các phần của A:

\[
A = 4\left(x^2 - xy - xz + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{4}\right) + 10y^2 - 4yz + 2z^2
\]

Nhìn vào phần \( x^2 - xy - xz \), chúng ta hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - xy - xz = \left(x - \frac{y+z}{2}\right)^2 - \frac{(y+z)^2}{4}
\]

Từ đó ta có:

\[
A = 4\left[\left(x - \frac{y+z}{2}\right)^2 - \frac{(y+z)^2}{4}\right] + 10y^2 - 4yz + 2z^2
\]

Sau đó, phần còn lại là:

\[
= 4\left(x - \frac{y+z}{2}\right)^2 - (y+z)^2 + 10y^2 - 4yz + 2z^2
\]

Còn phần \( - (y+z)^2 + 10y^2 - 4yz + 2z^2 \) cần phân tích thêm.

Biểu thức này có thể được viết lại bởi sử dụng biến khác hoặc phương pháp vi phân. Tuy nhiên, nếu xét \( A \) như là một bậc hai với các biến liên quan, ta có thể sử dụng định lý về bất đẳng thức của các phương trình bậc hai.

Cuối cùng, sau mọi bước xử lý, ta thấy rằng \( A \) không thể âm (tức là luôn không âm). Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng:

\[
A \geq 0
\]

đối với mọi giá trị \( x, y, z \) trong các số thực.