Để chứng minh được rằng \( \frac{a}{x + 2y + z} = \frac{b}{z - y - 2x} = \frac{c}{4x - 4y + z} \) từ các tỷ lệ đã cho \( \frac{x}{a - 2b + c} = \frac{y}{2a - b - c} = \frac{z}{4a + 4b + c} \), chúng ta sẽ bắt đầu từ các tỉ lệ này.

Giả sử rằng \( k \) là hằng số tỉ lệ, ta có:
\[
x = k(a - 2b + c)
\]
\[
y = k(2a - b - c)
\]
\[
z = k(4a + 4b + c)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các biểu thức \( x + 2y + z \), \( z - y - 2x \), và \( 4x - 4y + z \).

1. **Tính \( x + 2y + z \)**:
\[
x + 2y + z = k(a - 2b + c) + 2k(2a - b - c) + k(4a + 4b + c)
\]
\[
= k \left[ (a - 2b + c) + 2(2a - b - c) + (4a + 4b + c) \right]
\]
\[
= k \left[ a - 2b + c + 4a - 2b - 2c + 4a + 4b + c \right]
\]
\[
= k \left[ 9a + 0b + 0c \right]
\]
\[
= 9ak
\]

2. **Tính \( z - y - 2x \)**:
\[
z - y - 2x = k(4a + 4b + c) - k(2a - b - c) - 2k(a - 2b + c)
\]
\[
= k \left[ (4a + 4b + c) - (2a - b - c) - 2(a - 2b + c) \right]
\]
\[
= k \left[ 4a + 4b + c - 2a + b + c - 2a + 4b - 2c \right]
\]
\[
= k \left[ 0a + 9b + 0c \right]
\]
\[
= 9bk
\]

3. **Tính \( 4x - 4y + z \)**:
\[
4x - 4y + z = 4k(a - 2b + c) - 4k(2a - b - c) + k(4a + 4b + c)
\]
\[
= k \left[ 4(a - 2b + c) - 4(2a - b - c) + (4a + 4b + c) \right]
\]
\[
= k \left[ 4a - 8b + 4c - 8a + 4b + 4c + 4a + 4b + c \right]
\]
\[
= k \left[ 0a + 0b + 9c \right]
\]
\[
= 9ck
\]

Bây giờ, từ các kết quả trên, ta có:
\[
x + 2y + z = 9ak
\]
\[
z - y - 2x = 9bk
\]
\[
4x - 4y + z = 9ck
\]

Cuối cùng, ta sẽ có:
\[
\frac{a}{x + 2y + z} = \frac{a}{9ak} = \frac{1}{9k}
\]
\[
\frac{b}{z - y - 2x} = \frac{b}{9bk} = \frac{1}{9k}
\]
\[
\frac{c}{4x - 4y + z} = \frac{c}{9ck} = \frac{1}{9k}
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{a}{x + 2y + z} = \frac{b}{z - y - 2x} = \frac{c}{4x - 4y + z}
\]

Điều này chứng tỏ rằng hai tỉ lệ ban đầu là tương đương.