Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( R = 3x^2 - 5x + 3 \), chúng ta có thể sử dụng công thức tìm đỉnh của parabol.

Hàm bậc hai có dạng tổng quát \( ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = 3 \), \( b = -5 \), và \( c = 3 \).

Công thức tính tọa độ \( x \) của đỉnh parabol là:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

\[
x = -\frac{-5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}
\]

Tiếp theo, chúng ta thay giá trị \( x \) này vào hàm \( R \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
R\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 3
\]

Tính từng phần:

1. Tính \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \)
2. Tính \( 3 \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{36} = \frac{25}{12} \)
3. Tính \( 5 \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \)
4. Chuyển đổi \( \frac{25}{6} \) sang mẫu 12: \( \frac{25}{6} = \frac{50}{12} \)

Bây giờ thay vào công thức:

\[
R\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} + 3
\]

Chuyển đổi 3 sang mẫu 12:

\[
3 = \frac{36}{12}
\]

Kết hợp lại:

\[
R\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} + \frac{36}{12} = \frac{25 - 50 + 36}{12} = \frac{11}{12}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm \( R \) là \( \frac{11}{12} \).